2013海淀期末考试高三理数试题答案

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1、海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理）参考答案及评分标准2013．1说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案ACABDACD二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．10．11.12．13．14．三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分）解：（I）因为………………6分又的单调递增区间为，所以令解得所以函数的单调增区间为，………………8分(Ⅱ)因为所以，又，所以，所以………………10分由正弦定理把代入，得到………………12分又，所以

2、，所以………………13分16.（本小题满分13分）解：（I）这辆汽车是A型车的概率约为这辆汽车是A型车的概率为0.6………………3分（II）设“事件表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为天”，　　“事件表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为天”，其中　　　则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为　………………5分………………7分　　　该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为………………9分（Ⅲ）设为A型车出租的天数，则的分布列为12345670.050.100.300.350.150.030.02数学参考答案第5页，共4页设为B型车出租的

3、天数，则的分布列为145670.140.200.200.160.150.100.05………………12分一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天.从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差小于B型车出租天数的方差,综合分析，选择A类型的出租车更加合理.………………13分17.（本小题满分14分）(I)连接交于点，连接因为为正方形，所以为中点，又为中点，所以为的中位线，所以………………2分又平面，平面所以平面………………4分（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系　所以设，所以，因为，所以，解得，所以………………8分（

4、Ⅲ）因为，设平面的法向量为，则有，得，令则，所以可以取，………………10分因为平面,取平面的法向量为………………11分所以………………13分　平面与平面所成锐二面角的余弦值为………………14分18.（本小题满分13分）解：当时，，………………2分又，，所以在处的切线方程为………………4分（II）当时，又函数的定义域为所以的单调递减区间为………………6分当时，令，即，解得………………7分当时，，所以，随的变化情况如下表：无定义0极小值所以的单调递减区间为，，　　　　　单调递增区间为………………10分当时，所以，随的变化情况如下表：0无定义极大值数学参考答案第5页，共4页所以的单调递增区

5、间为，　　　　　单调递减区间为，………………13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将代入，得所以抛物线方程为，焦点坐标为………………3分（Ⅱ）设，，，法一：因为直线不经过点，所以直线一定有斜率设直线方程为与抛物线方程联立得到，消去，得：则由韦达定理得：………………6分直线的方程为：，即，令，得………………9分同理可得：………………10分又，所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………13分所以，即为定值………………14分法二：设直线方程为与抛物线方程联立得到，消去，得：则由韦达定理得：………………6分直线的方程为：，即，令，得………

6、………9分同理可得：………………10分又，数学参考答案第5页，共4页　　　　　　　　　　　　　　　　　………………13分所以，即为定值………………14分20.（本小题满分14分）解：（I）因为且，即在是增函数，所以………………1分而在不是增函数，而当是增函数时，有，所以当不是增函数时，综上，得………………4分(Ⅱ)因为，且所以，所以，同理可证，三式相加得所以………………6分因为所以而，所以所以………………8分(Ⅲ)因为集合所以，存在常数，使得对成立我们先证明对成立假设使得，记因为是二阶比增函数，即是增函数.所以当时，，所以所以一定可以找到一个，使得这与对成立矛盾………………11分对成

7、立所以，对成立下面我们证明在上无解假设存在，使得，则因为是二阶增函数，即是增函数一定存在，，这与上面证明的结果矛盾所以在上无解综上，我们得到，对成立所以存在常数，使得，，有成立又令，则对成立，又有在上是增函数，所以，而任取常数，总可以找到一个，使得时，有数学参考答案第5页，共4页所以的最小值为0………………13分数学参考答案第5页，共4页