数字信号处理第二章

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1、第二章Z变换与DTFT§2-1引言信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。一.时域分析法1.连续时间信号与系统：信号的时域运算，时域分解，经典时域分析法，近代时域分析法，卷积积分。2.离散时间信号与系统：序列的变换与运算，卷积和，差分方程的求解。二.变换域分析法1.连续时间信号与系统：信号与系统的频域分析（FT）、复频域分析（LT）。2.离散时间信号与系统：Z变换，DFT(FFT)。Z变换可将差分方程转化为代数方程。§2-2Z变换的定义及收敛域一.Z变换定义：序列的Z变换定义如下：*实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。Z是复数。二.收敛域1.定义:使序列x(

2、n)的z变换X(z)收敛的所有z值的集合称作X(z)的收敛域.2.收敛条件：X(z)收敛的充要条件是绝对可和。3.一些序列的收敛域(1).预备知识阿贝尔定理:如果级数，在收敛,那么,满足0≤

3、z

4、<

5、z+

6、的z,级数必绝对收敛。

7、z+

8、为最大收敛半径。同样,对于级数，满足的，级数必绝对收敛。

9、z_

10、为最小收敛半径。0n(n)...(2).有限长序列x(n)n0n1..1...（3）.右边序列*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,收敛域第一项为有限长序列,其收敛域为0<

11、z

12、<∞;第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知,其收敛域为Rx-<

13、z

14、≤∞;两者

15、都收敛的域为两者的公共部分即Rx-<

16、z

17、<∞;Rx-为最小收敛半径。(4)因果序列它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔定理可知收敛域为：(5)左边序列x(n)0nn2……第二项为有限长序列,其收敛域;第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理,其收敛域为;为最大收敛半径.双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。(6)双边序列0nX（n）…………第二项为左边序列，其收敛域为：第一项为右边序列(因果)其收敛域为：当Rx-

18、时，这是无穷递缩等比级数。[例2-2]求序列的Z变换及收敛域。解：*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。（右边序列）收敛域：[例2-3]求序列变换及收敛域。同样的，当

19、b

20、>

21、z

22、时，这是无穷递缩等比级数，收敛。收敛域：*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。（左边序列）§2-3Z反变换一.定义：已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。z变换公式：C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.0c1.留数法由留数定理可知：为c内的第k个极点，为c外的第m个极点，Res[]表示极点处的留数。二.求Z反变换的方法2、当Zr为l阶(多重)极点

23、时的留数：留数的求法：1、当Zr为一阶极点时的留数：[例2-4]已知解:1）当n≥-1时,不会构成极点，所以这时C内只有一个一阶极点因此，求z反变换。2）当n≤-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。因此C内有极点：z=1/4(一阶),z=0为(n+1)阶极点；而在C外仅有z=4(一阶)这个极点:2.部分分式法有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算所得的式子。有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式的和，使各分式具有或的形式，其中x2+Ax+B是

24、实数范围内的不可约多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分式的“部分分式”。通常，X(z)可表示成有理分式形式：因此，X(z)可以展成以下部分分式形式其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点，Zi为X(z)的一个k阶极点。而系数Ak，Ck分别为：的z反变换。[例2-5]利用部分分式法，求解：分别求出各部分分式的z反变换（可查P54表2-1），然后相加即得X(z)的z反变换。3.幂级数展开法(长除法)因为x(n)的Z变换为Z-1的幂级数，即所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。如收敛域为

25、z

26、>Rx+，x(n)为因果序

27、列，则X(z)展成Z的负幂级数。若收敛域

28、Z

29、

30、1—Z116-1—Z116-1-—Z1