《最优反褶积理论与方法》学习总结

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1、《最优反褶积理论与方法》学习总结姓名：xxx专业：xxxxxxxxx学号：xxxxxxxxxxx1褶积模型及应用背景1.1褶积模型线性离散随机系统的一种描述形式是状态空间表达，另一个基本描述形式是褶积（或称卷积）模型。它表达了系统的观测输出和系统输入之间通过系统的脉冲响应而发生的线性关系，并考虑了观测过程的随机干扰，其表达式可写为（1.1）在许多实际问题中，上述模型只能是实际过程的最简单的近似，它忽略了许多复杂因素，当进一步精确描述实际过程成为必要时，乘性噪声可以在统计意义上概括其复杂因素。这时的褶积模型可以表示为：（1.2）上式中便是乘性噪声，它

2、使得褶积模型不再是线性。式（1.2）的褶积模型与式（1.3）的状态空间表达是等价的。（1.3）1.1应用背景在石油勘探中广泛应用的方法是反射地震学。其基本原理是：在地表激发点激发的地震子波向地下传播，当遇到地下波阻抗界面时，一部分能量就会作为反射地震波向上反射回地表，被地面的传感器接收，随着地震波不断向下传播、反射、接收，就会记录一系列时间延迟的地震波，称为地震记录。在进行了大量简化后，Robinson将这一过程或地震记录用如下形式的褶积模型描述：（1.4）其中，“*”表示褶积。经典的Robinson褶积模型只是实际情况的一个粗浅描述，这就给问题更

3、精确的解决带来困难。综合多方面的情况，地质学家们认为如下带乘性噪声的褶积模型更能真实地反映实际情况（1.5）其中是乘性噪声。地震资料的处理大多是在计算机上进行的，利用适当的离散方法，上述的地震道褶积模型亦可表达为如下的离散形式：（1.6）其中，是观测数据的个数。在这个模型中，是理想的地震道，即式（1.5）中的的离散形式；是加性噪声，即观测噪声；是乘性噪声，是褶积补偿因子，这是考虑到了震源子波在地下传播时的时变性（高频震幅随深度增加而衰减）、震源子波观测的不准确性以及传播时的扩展损失与投射损失等。由式（1.6）描述的系统可由图1表示。图1带乘性噪声的

4、地震道模型除此之外，带乘性噪声的褶积模型还广泛用于其它领域，例如通讯系统，语音处理等。1反褶积算法线性时不变动态系统的一个非常重要的数学表达是褶积模型。褶积模型告诉人们如何从系统的输入（SI）和脉冲响应（IR）的运算中得到系统的输出（SO），其最简单的形式是（2.1）其中：“”表示褶积模型的数学运算。褶积运算是已知系统的输入（SI）和脉冲响应（IR）而求输出响应（SO）的“正问题”。反褶积运算则是已知系统的输出（SO）和脉冲响应（IR）而反求系统输入（SI）的“反问题”。若令表示系统的脉冲响应（IR）的数学逆运算，则IR*是一个delta函数，因此

5、，反褶积运算为（2.2）然而，大量实际系统的数学模型并不像式（2.1）那么简单，它可能是非线性的、时变的、并含有随机干扰。在石油地震勘探、通讯工程及语言处理等领域，形如（2.3）的带乘性噪声的褶积模型是十分有用的。例如，在石油地震勘探资料处理中，反褶积所求的是反映地下岩层信息的反射序列；在通讯系统中的反褶积问题通常是所谓补偿问题。1最优平滑反褶积算法分类针对以下带乘性噪声的离散随机系统（2.4）（2.5）其中，式（2.4）是状态方程，式（2.5）是带乘性噪声的观测方程，是维状态向量，是维输出，是维动态噪声，是维观测输出，是一维乘性噪声，是时变的阶状

6、态转移矩阵，和分别是时变的阶和阶系数矩阵。系统满足如下假定条件：对任意整数和，其中最优反褶积算法是对动态噪声的平滑估计，而根据平滑估计分类一般可分为三类：1.固定域反褶积：2.固定臂长反褶积：3.固定点反褶积：3.1固定域反褶积（满秩）记动态噪声在观测上的固定域平滑估计（线性最小方差意义下的最优估计）为，即（3.1）则关于的计算有如下定理。定理：对带乘性噪声的系统(2.4)、(2.5)，如果条件D1-D5全部满足，且S(0)、、、及均已知，并且为满秩的，则对任意正整数及，有如下固定域反褶积的计算公式：（3.2）且的估计误差方差矩阵为（3.3）证明：

7、由式（2.4）可得（3.4）由固定域平滑的间接算法得，（3.5）由一步预报公式，（3.6）其中（3.7）于是（3.8）于是有（3.9）由定理假定，是满秩的，所以再考虑平滑反褶积的估计误差方差矩阵的计算，得（3.10）即（3.11）对上式等号两边分别求其协方差，并注意到正交性，（3.12）便可得到（3.13）满秩时的固定域反褶积可用图2表示。图2固定域反褶积方块图3.2固定臂长反褶积（不满秩）在固定域反褶积中，令，则臂长为1的固定臂长反褶积为（3.14）在此基础上，可以进一步推导臂长大于1的反褶积算法。3.3固定点反褶积（不满秩）固定点平滑估计的递推

8、算法为（3.15）其中，，且1总结以上在独立白噪声条件下推出的线性最优的固定域、固定点及固定臂长反褶积算法，是不含乘性噪声