Lyapunov&LaSalle’s invariant principle

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1、Lyapunov稳定性分析一、Lyapunov稳定性概念稳定性是一切自动控制系统必须满足的一个性能指标，它是系统受到干扰后偏离平衡状态的运动依靠系统的内部结构因素返回到平衡状态或限制在它的一个有限领域内的一种性能.1.平衡状态（平衡点）①在外界没有干扰的情况下，系统静止不动的状态.②系统的平衡状态：状态向量是平衡状态.③的平衡状态：方程的解.2.Lyapunov稳定性定义称为系统的Lyapunov稳定平衡点，如果对任意的轨迹，只要初始状态离很近，整个轨迹就不会远离平衡点.稳定性的定义：的平衡点是Lyapunov稳定的，如果对任意的，存在，使得对任意的，只要初始状态满足.3

2、.Lyapunov渐进稳定性定义平衡点称为渐进稳定的，如果满足：①Lyapunov稳定性；②当时间趋于无穷时轨迹趋于平衡状态：4.lyapunov全局渐进稳定性定义平衡点称为全局渐进稳定的，如果满足：①Lyapunov稳定性；②当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态；③条件②对于任意初始状态称成立.5.Lyapunov不稳定的平衡点是不稳定的，如果存在，对任意的，都有初始状态满足的轨迹，在某个时刻使得.二、Lyapunov稳定性判据1.Lyapunov稳定性判别的基本方法（考虑时不变系统即系统的参数不随时间而变化）①间接法：通过求出系统的解来判断.②直接法(Lyapunov

3、函数方法)：构造一种广义能量函数（Lyapunov函数）并利用系统向量场来判断.2.Lyapunov函数的定义一个标量函数称为Lyapunov函数，如果满足①是正定的；②具有连续的偏导数.一个Lyapunov函数称为半径无限大的，如果它进一步满足③当时，.3.Lyapunov稳定性判别定理考虑系统，设为一平衡点，如果存在连续可微的标量函数满足①是正定的；②是半负定的；则系统的平衡点是Lyapunov稳定的.4.Lyapunov渐进稳定性判别定理考虑系统，设为一平衡点，如果存在连续可微的标量函数满足①是正定的；②是半负定的；③集合不包含系统的除平衡点意外的状态轨迹。则系统的

4、平衡点是Lyapunov渐进稳定的.进一步，若是半径无穷大的，则平衡点是Lyapunov全局渐进稳定的.一、连续时间线性系统稳定性判别线性时不变系统稳定性①如果的特征根都在闭的左半复平面内，且在虚轴的特征根对应的若儿当块为一阶的，则线性系统在每一个平衡点是Lyapunov稳定的；②如果的特征根都在开的左复半平面，则线性系统的平衡点（唯一，即0）Lyapunov全局渐进稳定的；③如果有一个特征根在右半复平面，则线性系统在每一平衡点是Lyapunov不稳定的。四、离散时间线性系统稳定性判别考虑①如果的特征根都在复平面内闭单位圆中，且单位圆上的特征根对应的若儿当块是一阶的，则线

5、性系统在每一个平衡点是Lyapunov稳定的；②如果的特征根都在复平面内开单位圆中，则线性系统的平衡点（唯一，即0）Lyapunov全局渐进稳定的；③如果的特征根有一个在复平面内开单位圆外，则线性系统在每一平衡点是Lyapunov不稳定的。证明稳定性，一般是通过变换系数矩阵，判断矩阵的特征值，然后得到相对应的稳定性。LaSalle’sInvariantSetTheory定义1集合称为一个动态系统的不变集，如果从中一个点出发的系统轨线永远停留在中。定理1（局部不变集原理）考虑自治非线性系统，如果存在具有一阶连续偏导数的标量函数，使得①对于任意，由定义的是一个有界区域②，设是

6、内使的所有点的集合，为中的最大的不变集，则当时，从出发的任意系统轨线均趋于。定理2（全局不变集原理）考虑自治非线性系统，如果存在具有一阶连续偏导数的标量函数，使得①②对所有的成立设是内使的所有点的集合，为中的最大的不变集，则当时所有解全局渐进收敛于.定理3（LaSalle’sInvariancePrinciple）为紧集，从出的方程的解对于均停留在内，如果是连续可微的，在中，又设，为中的最大的不变集，则对.可以看出拉萨尔不变性定理放松了对于李雅普诺夫定理中负定的要求，而且也没有要求函数是正定的.在证明问题时比较方便。