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《微积分学PPt标准课件28-第28讲一元微分学应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第一讲一元微积分的应用(一)脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中——函数的单调性、极值第六章一元微积分的应用本章学习要求：熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。掌握建立与定积分有关
2、的数学模型的方法。熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。第六章一元微积分的应用第一、二节运用导数研究函数一、导数的简单应用二、函数的单调性三、函数极值四、函数的最大值、最小值五、函数的凹凸性一、导数的简单应用例1解例2解取锐角例3解例4解在实际问题中，往往是同时出现几个变量.变量之间有确定的关系，并且它们都是另外某一个变量的函数(例如
3、，都是时间t的函数.)从它们对这另一个变量的变化率之间的关系出发，由已知的一个或几个变量的变化率求出一个变量的未知的变化率，就是所谓的相关变化率问题.例5解例6解例7解下面我们运用函数的导数(微分)来研究函数的有关性质：单调性、凹凸性、极值等，并研究如何作出函数的图形.由拉格朗日中值定理的推论我们已经知道:二、函数的单调性观察下面的图形,你能得出什么结论？综上所述,可知:在讨论函数的单调性时，一般先求出函数一阶导数等于零和一阶导数不存在的点,然后按这些点将所讨论的区间分成小区间,在每个小区间内函数只有一
4、种单调性,利用导数符号判断函数是单调增加还是单调减少.提供了判断函数单调性的方法例1解列表可使问题明朗化例2证下一步你打算怎么办?这个式子有点像……？例3证利用函数处理数列例4证三、函数的极值函数的极值是个局部性的概念.我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式:费马定理—可微函数取极值的必要条件函数的单调性判别定理和方法泰勒公式—可利用高阶导数定理费马PierredeFermat(1601－1665)费马，法国数学家.出身于一个商人家庭.他的祖父、父亲、叔父都从商.他的父亲是当地的第二执政官,经办着一个
5、生意兴隆的皮革商店.费马毕业于法国奥尔良大学，以律师为职.曾任图卢兹议会会员,享有长袍贵族特权.精通6种语言.业余爱好数学并在数论、几何、概率论、微积分等领域内作出了创造性的工作.费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡”.极值可疑点首先考察下列函数的图形:通过观察以上的图形你得到什么结论？判别函数的极值点,主要是判别极值可疑点左、右对于可微函数将归结于判别函数的导数的符号.两侧函数的单调性.(单调增加)(单调减少)(单调减少)(单调增加)定理证由定理中(1)的条件,得由定理中(2)的条件,得泰勒公式看这一部分
6、此时应另找其他方法.什么方法？高阶的泰勒展开式？定理列表讨论单调性,判别极值:例5解极小极小极大自己总结求极值的步骤例6解怎么办？例7解首先看看函数的图形.由图形可知:不是函数的极值点.问题在于如何进行解析描述.我们再看一下泰勒公式：就是说：综上所述,定理在工程技术和生产实践中,常常需要考虑在一定条件下,怎样才能使用料最少、费用最省,而效率和效益最高等问题.这些问题反映到数学上就是最优化问题.优化技术应用价值很大三、函数的最大、最小值怎样求函数在一个区间上的最大、最小值呢？回忆以前学过的知识：取到它的最
7、大值和最小值.取得其最大值和最小值,则这些最值一定是函数的极值.的最大值和最小值可能在区间的端点也可能在区间内部取得.温故而知新求一个连续函数在上的最大值和最小值,只要先求出函数一切极值可疑点(驻点和一阶导数不存在的点),然后比较极值可疑点的函数值及区间端点函数值,其中最大者就是函数最小者就是函数求最值的几个特殊情况极大(小)值点,则该点就是函数的最大(小)值点.实际判断原则计算函数值:(端点值)例8解没有什么新的东西用薄铁片冲制圆柱形无盖容器,要求它的容积一定,问应如何选择它的半径和高度才能使用料最省
8、?设容积(体积)为V,半径为r,高为h.用料最省即指容器的表面积A最小.应用题例8解又A的最小值一定存在,故当要求的容器的容积为A时,选择半径如果不放心,可用二阶导数进行判断.某出版社出版一种书,印刷x册所需成本为每册售价p与假设书可全部售出,问应将价格p定为多少才能使出版社获利最大？例9由经验公式,得于是得唯一极值可疑点解即为Q的最大点.从而应将价格p定为此时最大获利为将一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁.问应如何选择矩形截面的高h和宽
