微积分学PPt标准课件22-第22讲定积分的概念

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1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第二十二讲定积分的概念脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中第五章一元函数的积分本章学习要求：熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.了解利用建立递推关系式求积分的方法.理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系.熟悉牛顿—莱布尼兹公式.理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法.能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。掌握建立与定积分

2、有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。第一节定积分的概念第五章一元函数的积分二.定积分的定义一.曲边梯形的面积三.定积分的性质第五章一元函数的积分第一节定积分的概念和性质在我国古代南北朝（公元429—500年）时，南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边数，算出正多边形的面积，逼近相应的圆的面积，得到了π近似值.在初等几何中，计算任意多边形面积时，常

3、采用如下方法：首先将任意多边形划分为若干个小三角形，分别计算各个三角形的面积，然后求和，得到任意多边形的面积。阿基米德运用这种方法，求得抛物线与x轴及直线x=1所围成的平面图形面积的近似值.就是说，在计算复杂图形的面积时，可以先将它划分为若干个容易算得面积的小块，并分别求出各小块图形的面积，然后求和，即得到原图形的面积的近似值（边界线为直线时，可得精确值）.如果在上述方法中引入极限过程,会产生什么效果?一.曲边梯形的面积曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条曲线，它与垂直于底边的直线

4、至多有一个交点（这里不排除某直线缩成一点）.1.曲边梯形2.求曲边梯形的面积首先，我们重复阿基米德的做法：分划—代替—求和得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程，求出曲边梯形的精确值.第一步：分划任意引入分点称为区间的一个分法T第二步：代替对每个小曲边梯形均作上述的代替第三步：求和第四步：取极限二.定积分的定义任意引入分点定积分符号：关于定积分定义的几点说明定积分的几何意义由极限保号性：面积：定积分的几何意义喂！请问什么样的函数可积？下面是几个关于函数可积性的定理.运用定积分的概念及定积分的几何意义,由函数的极限运算性

5、质容易证明它们,所以我们在这里不进行证明.喂!定理1定理2定理3定理4定理5三.定积分的性质由于定积分是一种和式的极限,所以极限的某些性质在定积分中将有所反映.在以下的叙述中,假设所出现的函数均可积,所出现的定积分均存在.证证由定积分定义及极限运算性质：可以推广至有限个可积函数的情形.证(小于零的情形类似.)由极限的保号性立即可知.代数和例1证//有什么结论？换成例2证请同学们自己在下面做./与性质3的推论1不同，这里的结论是严格不等号！证例3证所以例4证证从证明的过程中，你是否发现性质6的条件可以减弱？条件减弱后，结论

6、是否也要调整？要真正把书看懂，不下点功夫是不行的！例5解由积分中值定理例6解