微积分A第二学期总复习

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1、解析几何、向量运算求空间直线方程求平面方程向量的内积（数量积）、外积（向量积）（2008）一、1.经过点且与x轴，y轴，z轴正向的方向角分别为的直线的标准方程为_______________直线的方向向量为：直线的标准方程：（2009）二、一平面通过直线且与平面垂直，求平面的方程。解：设平面的方程为：平面的方向向量为：平面的方向向量为：由题意，平面所以平面的方程为(2010)一、（1）求过点与直线垂直的平面方程为：多元函数微分偏导数、全微分的计算梯度、方向导数曲线的法平面、切线方程曲面的切平面、法线方程多元函数的极值2008、一(3)设，则梯度=，散度

2、____________________.2．曲线在点处的法平面的方程为______________，原点到平面的距离_____________.把y看作参数过点的切线方向为：点法式：整理得：点到平面的距离公式：（2009）一、1.设函数由方程所确定，则（2009）一、2.已知曲面上点处的切平面平行于平面，则点的坐标是切平面的法向量为：根据两个向量平行关系：（2008）二、求函数的极值点和极值.解：得驻点为又在点处：所以点不是极值点在点处：所以点是极小值点极小值为：（2008）九、设,其中有连续偏导数，且(1)将换成球坐标，求的表达式；(2)求，并证明

3、仅为的函数，(其中).解、由球坐标与直角坐标的关系，有（1）（2）令=0=0四、设，试判断点和点是否为的极值点，说明理由，并指出是极大值点还是极小值点.解、所以所以（2010）二、在曲面上求一点，使得点处的法线垂直于平面，并写出法线方程。四、求函数在约束条件下的最大值和最小值。七、设，其中二阶可导，有连续的二阶偏导数，求，及多元函数的积分二重积分、三重积分的计算曲线积分、曲面积分的计算Green公式、Gauss公式、Stokes公式梯度、散度、旋度认清积分类型，掌握积分计算方法（2008）一、4.设为正向,则曲线积分直接计算或用Green公式提示：（2

4、008）一、5.设为上半球面则直接计算：注意对称性（2008）一、6.将转化为极坐标系下的累次积分(先后)先画图，注意极坐标积分公式(2009)一、3设则直接计算：注意奇偶性(2009)一、4.向量场在点处的散度（2008）四、若是某二元函数的全微分，求的值，并对上述的值计算曲线积分，其中是摆线从到的一段.解、设由题意知：由题意知曲线积分与路径无关，且路径的起点、终点坐标分别为：选择折线路径：则(2009)一、5.已知是某二元函数的全微分，则常数提示：（2008）八、设是由圆锥面与抛物面所围成的均匀立体(密度).（1）求的表面积；（2）求绕轴的转动惯量

5、.解、(1)圆锥面与抛物面的交线为即(2)三(09)、设是由曲面与平面围成的实心体，其质量分布是均匀的(密度为k),求的体积和的质心坐标.先1后2：（1）求体积先2后1：由对称性，所以的质心坐标为：(2008)六、计算曲面积分，其中是下半球面的上侧解、添加辅助面取下侧(2009)九、利用高斯公式计算第二类曲线积分其中为半球面，积分沿的上侧.解、添加辅助面做球坐标变换：上式=(2009)五、设是由直线和抛物线所围成的闭区域，计算二重积分的值解、点得(2009)八、设有曲线积分，试在以下两种情况下求积分的值：(1)为椭圆的逆时针方向；(2)为圆的逆时针方向

6、.解(1)为椭圆的逆时针方向；(由格林公式)(也可写出椭圆的参数方程，然后转化为定积分计算)(2)为圆的逆时针方向，记为椭圆的逆时针方向.（2010）一4.设，则I在极坐标系中的累次积分为：积分值为I三、计算三重积分其中V是由半球面与抛物面围成的区域。五、求上半圆锥面对z轴的转动惯量，已知圆锥面的面密度等于该点到原点的距离.九、利用高斯公式计算第二类曲面积分其中为上半球面的上侧十一、设在右半平面,有力构成的力场，其中为常数，写出功的表达式并证明在此力场中，场力所做的功与所取的路径无关.级数收敛性的判别求幂级数收敛域、和函数，幂级数展开三角级数（Foui

7、er）级数展开，三角级数的和函数级数（2008）一、7.设级数，当满足时级数绝对收敛满足时级数条件收敛分析：（2009）一、6数项级数的敛散性是.（若收敛，请指明是绝对收敛还是条件收敛）.7.函数的麦克劳林级数为；收敛域为.绝对收敛(2008)八、设是函数的以为周期的余弦级数的和函数.求的表达式及的值，并求出余弦级数的系数.解、将进行偶延拓，由狄立克莱收敛定理知：由和函数的周期性，当时（2009）六、求幂级数的收敛域及和函数所以收敛半径为：当时，原级数为，发散；当时，原级数为，收敛；所以收敛域为：所以一5、设函数在上展开的傅里叶级数为其和函数为，则系数

8、六、求幂级数的收敛域及和函数,并求数项级数十、将函数展开为的幂级数，并求的值。考试及答疑时间1