微积分(下)总复习(I)

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1、高等数学III（微积分）(下）总复习第六章定积分及其应用问题1:曲边梯形的面积问题2:变速直线运动的路程存在定理广义积分定积分定积分的性质定积分的计算法牛顿-莱布尼茨公式一、主要内容微元法理论依据名称释译所求量的特点解题步骤定积分应用中的常用公式2.可积的两个充分条件：定理1定理21.定积分的定义3.定积分的性质性质1性质2性质3性质5推论：（1）（2）性质4性质7(定积分中值定理)性质6积分中值公式4.牛顿—莱布尼茨公式定理1定理2（原函数存在定理）定理3（微积分基本公式）也可写成牛顿—莱布尼茨公式5.定积分的计算法换元公式

2、（1）换元法（2）分部积分法分部积分公式.)()(:)()(方法称微元法计算积分或原函数的这种取微元积分的无限积累到从就是其微分所求总量理论依据：dxxfdxxfUbadxxfdUUbaò==6.微元法理论依据解题步骤7.定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形(2)体积xyo平行截面面积为已知的立体的体积二、典型例题例1解1.变上限函数求导答问例2解2.定积分计算例3解例4解是偶函数,例5由1.求其所围成的图形的面积.所围的平面图形如图所示0xy12.它绕x轴旋转而成的旋转体体积解1.2.奇函数计算解原式偶函数单

3、位圆的面积例7计算解第七章向量代数与空间解析几何1、空间曲线方程的概念空间曲线可以看作两个曲面的交线.设曲线Γ是曲面S1与S2的交线,因此,曲线Γ可以用上述方程组来表示。上述方程组叫做空间曲线Γ的一般方程。则点P在曲线Γ上当且仅当点P的坐标满足方程组S1F1(x,y,z)=0,S2F2(x,y,z)=0,而曲面的方程分别为ΓS1S2F1(x,y,z)=0,F2(x,y,z)=0,抛物柱面平面(Cylinderofthesecondorderparabolic)2、柱面(cylinder)从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）

4、实例椭圆柱面母线//轴双曲柱面母线//轴抛物柱面母线//轴旋转过程中的特征：如图将代入3、旋转曲面(surfacesofrevolution)将代入得方程例1将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．旋转双曲面(hyperboloid)旋转椭球面旋转抛物面(Ellipsoid)(Paraboloid)消去变量z后得：曲线关于的投影柱面设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：4、空间曲线在坐标面上的投影如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面类似地：可定义空间曲线在

5、其他坐标面上的投影面上的投影曲线,面上的投影曲线,空间曲线在面上的投影曲线截线方程为解如图,第八章多元函数微分学平面点集和区域多元函数的极限多元函数连续的概念极限运算多元连续函数的性质多元函数概念一、主要内容全微分的应用高阶偏导数隐函数求导法则复合函数求导法则全微分形式的不变性偏导数在经济上的应用多元函数的极值全微分概念偏导数概念1.区域（1）邻域2.多元函数概念3.多元函数的极限说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．4.极限的运算5.多元函数的连续性6.

6、闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值．（2）最大值和最小值定理（1）有界性定理有界闭区域D上的多元连续函数是D上的有界函数．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（3）介值定理7.偏导数概念8.高阶偏导数纯偏导混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.９.偏导数在经济上的应用:交叉弹性即10.全微分概念多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导11.全微分的应用主要方面:近似计算与

7、误差估计.12.复合函数求导法则以上公式中的导数称为全导数.13.全微分形式不变性无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.隐函数的求导公式14.隐函数的求导法则15.多元函数的极值定义多元函数取得极值的条件定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.极值点注意驻点条件极值：对自变量有附加条件的极值．二、典型例题例1解例2解解解解所求全微分例6解例7解于是可得例8解分析:得第九章重积分定义几何意义性质计算法二重积分一、主要内容２.二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于

8、零时，二重积分是柱体的体积的负值．1.二重积分的定义性质１当为常数时，性质２３.二重积分的性质性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积性质５若在D上，特殊地性质６性质７（二重积分中值定理）４.二重积分的计算［X－型］X-型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不