微分方程的基本概念102-1一阶微分方程

《微分方程的基本概念102-1一阶微分方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics§10.1微分方程的基本概念Basicconceptofdifferentialequations三、微分方程的解一、问题的提出二、微分方程的定义微积分电子教案解由题意得：一、问题的提出两端同时积分：1、微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例常微分方程偏常微分方程二、微分方程的定义未知函数是一元函数的微分方程——未知函数是多元函数时，出现偏导数，即含有偏导数的微分方程，实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.2、微分方程的阶:微分方程中所含的未知函

2、数的导数的最高阶阶数称为微分方程的阶.如前例分别为一阶、二阶、一阶思考：3、微分方程的解:将某个函数代入微分方程，能使方程恒等。则称此函数为微分方程的解。均为解，有何区别？例2验证下列函数都是微分方程y-2y+y=0的解.⑴y=Cex;⑵y=xex;⑶y=C1ex+C2xex.解:⑴y=Cex,y=Cex,y=Cex,代入原方程左边=Cex-2Cex+Cex=0=右边∴y=Cex是原方程的解.⑵同理.⑶y=C1ex+C2xex解解的线性组合也是解C，C1，C2均为常数4、微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且独立的(即不能合并了)任意常数的

3、个数与微分方程的阶数相同.(2)特解:确定了通解中任意常数数值的解.通解：通用的解，含有任意常数；特解：特殊的解，不含有任意常数既不为通解，也不为特解，称为个解例2验证下列函数都是微分方程y-2y+y=0的解.⑴y=Cex;⑵y=xex;⑶y=C1ex+C2xex.为特解为通解特解可以从通解中通过某个条件求出常数得到特解称为定解条件，也称为初始条件一般地，n阶微分方程就有n个定解条件求特解步骤：先求通解，然后代入定解条件，确定通解中任意常数的值，可得特解。微分方程微分方程的通解定解条件如例1求解得：微分方程的特解解所求特解为练习：满足微分方程，故是其解。中不含任意常数,

4、故为微分方程的特解.安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics§10.2一阶微分方程Basicconceptofdifferentialequations三、齐次方程一、一阶微分方程的形式四、一阶线性微分方程微积分电子教案二、可分离变量的微分方程即f（x，y）是可分离变量的一阶微分方程的形式一般形式：常见形式：正规型微分型一、可分离变量的微分方程学习微分方程重点就是了解这个方程是什么类型？这种类型怎么解？一般形式解法——分离变量，直接积分。解法：1、分离变量。将变量x的函数和微分与变量y的函数和微分分离在等式两边例1求解微分方程解分离变量

5、两端积分得：例2求微分方程解分离变量两端积分2、然后积分。解分离变量两端积分得：结论1:通解既可用显函数表示,也可用隐函数表示.与例1的区别：一个显函数解，一个隐函数解结论2：解微分方程中形如，可以直接写为　　　　而不必再加绝对值。结论3：解微分方程时若积分后，出现对数,积分常数常写成lnc形式，以便于合并化简可简写为：解分离变量两端积分若求在y(0)=1条件下的特解，怎样求？例5:已知某商品需求量Q,对价格p的弹性，且该商品的最大需求量为200，求需求函数Q。解：由题意得：方程（1）可化为：两端积分得：将Q(0)=200代入，可得C=200故所求需求函数例6：设在连续，且满

6、足，求解：原方程对x求导：即：分离变量得：两端积分得：由原方程可知：f(0)=0代入通解c=2故作业：P3841(1，3)67注意:⑴积分方程求导后化为微分方程;⑵注意隐条件.练习：求下列微分方程的通解1、(1+x2)dy-dx=0２、xydxdy-=练习：求下列微分方程的通解解:1、分离变量,得：２、1、(1+x2)dy-dx=0xydxdy-=0112=+-dxxdy积分得：y-arctanx=C原方程的通解为：2、分离变量，得xdxydy-=两边积分得：lny=-lnx+lnC即lnxy=lnC∴xy=CxCy=：故原方程的通解为y=arctanx+C