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时间:2019-08-02
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1、基本概念编辑细胞的分裂是一个很有趣的现象,新细胞产生的速度之快是十分惊人的。例如某种细胞在分裂时,1个分裂成2个,2个分裂成4个……第x次分裂得到新细胞数y与分裂次数x的函数关系式: 。这个函数是幂的形式,且自变量为幂指数,我们下面来研究这样的函数。一般地,函数 (a为常数且以a>0,a≠1)叫做指数函数,函数的定义域是R。[2] 对于一切指数函数来讲,值域为(0,+∞)。指数函数中 前面的系数为1。如: 都是指数函数; 不是指数函数。[2] 数学术语指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为ex,这里的e是数学常数,
2、就是自然对数的底数,近似等于2.718281828,还称为欧拉数。当a>1时,指数函数对于x的负数值非常平坦,对于x的正数值迅速攀升,在x等于0的时候,y等于1。当03、于形如 (k属于R)的函数,这里的a叫做“底数”,是不等于1的任何正实数。本文最初集中于带有底数为欧拉数e的指数函数。指数函数的一般形式为 (a>0且≠1)(x∈R),从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得a>0且a≠1。基本性质如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。在函数中可以看到 :指数函数(1)指数函数的定义域为R,这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不连续,因此我们不予考虑,同时a等于0函数无意义一般也不考虑。(2)指数函数的值域为(0,+∞)。(3)函数图形都是上凹4、的。(4)a>1时,则指数函数单调递增;若05、 ② ③ ④ ] 函数图像(1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1,a)可知:在y轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大。(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1,1/a)可知:在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小。(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。(如右图)。(4) 与 的图像关于y轴对称。幂的比较比较大小常用方法:(1)做差(商)法:A-B大于0即A大于BA-B等于0即A=BA-B小于0即A小于B步骤:做差—变形—定号—下结论;AB大于1即A大于BAB等于1即A等于B6、A/B小于1即A小于B(A,B大于0)(2)函数单调性法;(3)中间值法:要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B之间的大小。比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意:(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。例如:y1=34 ,y2=35 因为3大于1所以函数单调递增(即x的值越大,对应的y值越大),因为5大于4,所以y2 大于y1 。(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可指数函数以利用指数函数图像的变化规律来判断。例如: , ,因为1/2小于1所以函数图7、像在定义域上单调递减;3大于1,所以函数图像在定义域上单调递增,在x=0是两个函数图像都过(0,1)然后随着x的增大,y1图像下降,而y2上升,在x等于4时,y2大于y1.(3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较。如:<1>对于三个(或三个以上)的数的大小比较,则应该先根据值的大小(特别是与0、1的大小)进行分组,再比较各组数的大小即可。<2>在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”(即比较它们与“1”的大小),就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢?由指数函数的图像和
3、于形如 (k属于R)的函数,这里的a叫做“底数”,是不等于1的任何正实数。本文最初集中于带有底数为欧拉数e的指数函数。指数函数的一般形式为 (a>0且≠1)(x∈R),从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得a>0且a≠1。基本性质如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。在函数中可以看到 :指数函数(1)指数函数的定义域为R,这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不连续,因此我们不予考虑,同时a等于0函数无意义一般也不考虑。(2)指数函数的值域为(0,+∞)。(3)函数图形都是上凹
4、的。(4)a>1时,则指数函数单调递增;若05、 ② ③ ④ ] 函数图像(1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1,a)可知:在y轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大。(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1,1/a)可知:在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小。(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。(如右图)。(4) 与 的图像关于y轴对称。幂的比较比较大小常用方法:(1)做差(商)法:A-B大于0即A大于BA-B等于0即A=BA-B小于0即A小于B步骤:做差—变形—定号—下结论;AB大于1即A大于BAB等于1即A等于B6、A/B小于1即A小于B(A,B大于0)(2)函数单调性法;(3)中间值法:要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B之间的大小。比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意:(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。例如:y1=34 ,y2=35 因为3大于1所以函数单调递增(即x的值越大,对应的y值越大),因为5大于4,所以y2 大于y1 。(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可指数函数以利用指数函数图像的变化规律来判断。例如: , ,因为1/2小于1所以函数图7、像在定义域上单调递减;3大于1,所以函数图像在定义域上单调递增,在x=0是两个函数图像都过(0,1)然后随着x的增大,y1图像下降,而y2上升,在x等于4时,y2大于y1.(3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较。如:<1>对于三个(或三个以上)的数的大小比较,则应该先根据值的大小(特别是与0、1的大小)进行分组,再比较各组数的大小即可。<2>在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”(即比较它们与“1”的大小),就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢?由指数函数的图像和
5、 ② ③ ④ ] 函数图像(1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1,a)可知:在y轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大。(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1,1/a)可知:在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小。(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。(如右图)。(4) 与 的图像关于y轴对称。幂的比较比较大小常用方法:(1)做差(商)法:A-B大于0即A大于BA-B等于0即A=BA-B小于0即A小于B步骤:做差—变形—定号—下结论;AB大于1即A大于BAB等于1即A等于B
6、A/B小于1即A小于B(A,B大于0)(2)函数单调性法;(3)中间值法:要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B之间的大小。比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意:(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。例如:y1=34 ,y2=35 因为3大于1所以函数单调递增(即x的值越大,对应的y值越大),因为5大于4,所以y2 大于y1 。(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可指数函数以利用指数函数图像的变化规律来判断。例如: , ,因为1/2小于1所以函数图
7、像在定义域上单调递减;3大于1,所以函数图像在定义域上单调递增,在x=0是两个函数图像都过(0,1)然后随着x的增大,y1图像下降,而y2上升,在x等于4时,y2大于y1.(3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较。如:<1>对于三个(或三个以上)的数的大小比较,则应该先根据值的大小(特别是与0、1的大小)进行分组,再比较各组数的大小即可。<2>在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”(即比较它们与“1”的大小),就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢?由指数函数的图像和
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