小船渡河问题练习题

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1、小船渡河问题（1）船的实际运动是：水流的运动和船相对静水的运动的合运动。（2）三种速度：v1（船在静水中的速度）、v2（水流速）、v（船的实际速度）。（3）三种情景：①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，（d为河宽）。②过河路径最短（时）：合速度垂直于河岸，航程最短，。③过河路径最短（时）：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。由图可知：，最短航程： 问题3：小船渡河的最值问题：一小船渡河，河宽d=180m，水

2、流速度。（1）若船在静水中的速度为，求：①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？（2）若船在静水中的速度，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？（1）若。①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时，如图所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为。②欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与河岸成某一角度α。垂直河岸过河这就要求，所以船头应向上游偏转一定角度，如图所示，有得。所以当船头向上游偏30°时航程最短

3、。s=d=180m.（2）若与（1）中②不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程，欲使航程最短，需α最大，如图所示，由出发点A作出v1矢量，以v1矢量末端为圆心，v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v合与水平方向夹角最大，应使v合与圆相切，即。，得α＝37°。所以船头应向上游偏37°。。。 变式4：一艘小艇从河岸A处出发渡河，小艇保持与河岸垂直方向行驶，经过10min到达正对岸下游120m的C处，如图所示，如果小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成α角方向行驶，则经过12.5m

4、in恰好到达正对岸的B处，求：河的宽度。解析：设河宽为d，河水流速为，船速为，船两次运动速度合成如图所示。依题意有：①②由②可得由①得，故，河宽。 变式5：船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2。为使船行驶到河正对岸的码头，则v1相对v2的方向应为（）答案：C