导数经济分析中的应用

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1、边际的概念经济学中常见的边际函数弹性分析需求价格弹性第六节导数在经济分析中的应用导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用.下面介绍导数(或微分)在经济分析中的一些简单应用.在经济学中我们关心的是当自变量取得一个很小的改变量时,函数的变化率是多少,以及如何用瞬时变化率近似描述平均变化率.这种研究问题的方法,称之为边际分析.一、边际概念定义1设y=ƒ(x)为可导函数,则称ƒ(x)的导函数为ƒ(x)的边际函数.在点x0的值称为ƒ(x)在x0处的边际函数值(或变化率、变化速度等).在经济学中,通常取Δx=1,就认为

2、Δx达到很小(再小无意义).故有在经济分析中,常略去“近似”二字,就得ƒ(x)在x0处的边际值.经济意义:即当自变量x在x0的基础上再增加一个单位时,函数f(x)的改变量.1.边际成本二、经济学中常见的边际函数总成本函数C=C(Q)的导数例1某机械厂,生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件,假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数为称为边际成本函数.求:(1)日产量75件时的总成本和平均成本;(2)当日产量由75件提高到90件时,总成本的平均改变量;(3)当日产量为75件时的边际成本.解(1)日产量75件时的总成本和平均成本(2)

3、当日产量由75件提高到90件时,总成本的平均改变量C(75)/75=106.08(元/件)C(75)=7956.25(元)(3)当日产量为75件时的边际成本2.边际收益总收益函数R=R(Q)的导数称为边际收益函数.例2某企业产品的市场需求函数为其中P为价格,Q为需求量.求P＋0.1Q＝80(1)总收益函数;(2)边际收益函数;(3)计算Q=200和Q=450时的边际收益,并解释其经济意义.解(1)总收益函数为R=R(Q)=PQ=80Q–0.1Q2(2)边际收益函数为(3)计算Q=200和Q=450时的边际收益分别为即当Q=200个单位时,边际收

4、益为40,其经济意义是销售量在200个单位的基础上多销售一个单位产品时,收益将增加40个单位;而当Q=450单位时,边际收益为－10,其经济意义是销售量在450个单位的基础上多销售一个单位当销售量为Q,总利润为L=L(Q)时,称为销售量为Q时的边际利润,它近似等于销售量为Q时再多销售一个单位产品所增加或减少的利润.3.边际利润总利润函数L=L(Q)=R(Q)–C(Q)的导数称为边际利润函数.产品时，收益将减少10个单位.例3某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收入函数分别是求边际利润函数和当日产量分别是200公斤,250公斤和300公斤时的

5、边际利润.并说明其经济意义.解(1)总利润函数为L(x)=R(x)–C(x)边际利润函数为(2)当日产量分别是200公斤、250公斤和300公斤时的边际利润分别是其经济意义:当日产量为200公斤时,再增加1公斤,则总利润可增加1元.当日产量为250公斤时,再增加1公斤,则总利润无增加.当日产量为300公斤时,再增加1公斤,则反而亏损1元.结论:当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的,反而使企业无利可图.零点时三、弹性分析弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变化时,所作出反映的强弱程度.即弹性是用来描述一个量对另一个量的相对变化率的一个量

6、.定义2若函数y=ƒ(x)在点x0≠0的某邻域内有定义,则称Δx和Δy分别是x和y在点x0处的绝对增量,则称极限值为函数f(x)在x0点处的点弹性,记为定义3设y=ƒ(x)当时,极限分别为自变量x与ƒ(x)在点x0处的相对增量.并称(1)若y=ƒ(x)在点x0处可导.则它在x0处的点弹性为(3)弹性是一个无量纲的数值,这一数值与计量单位无关.的经济意义是：在x0处,当x发生1％的改变,则ƒ(x)就会产生的改变.(4)弹性函数为时，x与y的变化方向相同(相反).由弹性定义可知:例4当a、b、k为常数时,求下列函数的弹性函数及在点x=1处的点弹性,

7、并阐述其经济意义.解当b>0时,x增加(或减少)1%,ƒ(x)就增加(或减少)b%;当b<0时,x增加(或减少)1%,ƒ(x)就减少(或增加)–b%.的经济意义是:函数ƒ(x)在x=1处,四、需求价格弹性称为需求价格弹性.需求函数Q=Q(P),其中Q为需求量,P为价格.显然,需求函数为单调减少的函数.因此,需求函数的导数均非正数.我们将注任何需求函数对价格之弹性,均满足例5某日用消费品需求量Q(件)与单价p(元)的关系为(2)当单价分别是4元、4.35元、5元时的需求点弹性.(a是常数),求：(1)需求弹性函数(通常记作);解在某价格处,根据需

8、求价格弹性的大小,可分为三种情况:当时,需求量增加的幅度大于价格降低的幅度,称需求弹性为高(富于)弹性.如奢侈品.当时,需求量下降的幅度小于价格提高的