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1、莫兴德广西大学数信学院Email:moxingde@gxu.edu.cn微积分链接目录第一章函数第二章极限与连续第三章导数与微分第四章中值定理,导数的应用第五章不定积分第六章定积分第七章无穷级数(不要求)第八章多元函数第九章微分方程复习参考书[1]赵树嫄.微积分.中国人民出版社[2]同济大学.高等数学.高等教育出版社第三章导数与微分引例导数概念导数的基本公式与运算法则高阶导数微分3-3导数的基本公式 （续）取对数求导法 隐函数微分法 参数函数微分法隐函数的求导法则隐函数的求导法则F(x,f(x))0对上式两边关于x求导（把看成是中间变量）：然后,从这个式子中解出
2、y,就得到隐函数的导数.方法：则将y=f(x)代入方程中,得到如果由方程F(x,y)=0确定隐函数y=f(x)可导,解两边对x寻求导求由方程(x0)所确定的隐函数的导数y,并求方程两边关于x求导：故由原方程可得：F(0,y)=0ye0+ey=0从而解例故求椭圆对方程两边关于x求导得：故所求切线的方程为：解整理后,切线方程为：例参数方程求导法则选择一个适当的参数t后,的形式,此式称为函数y=f(x)的参数方程.y=f(x)可表示为1.参数方程的概念参数方程求导法则参数方程求导法则：设利用反函数求导法则可证明该法则椭圆上任意一点x处的切线的斜率为故从而,所求
3、切线方程为：y=b.解例又星形线是一种圆内摆线例解取对数求导法然后,对方程两边关于x求导：方法:在条件允许的情况下,对y=f(x)两边同时取对数：注意：y是x的函数.取对数求导法或取对数求导法常用来求一些复杂的乘除式、根式、幂指函数等的导数.运用取对数求导法两边关于x求导：故解例运用取对数求导法两边关于x求导：解例整理得对这类型的题用取对数求导法很方便哦！运用取对数求导法解例故基本初等函数的导数导数的四则运算法则反函数的导数复合函数求导法隐函数的求导法参数方程求导法取对数求导法求导方法小结按定义求导3.4高阶导数3.4高阶导数一.高阶导数的概念高阶导数的运算法则隐
4、函数及参数方程确定的函数的高阶导数一.高阶导数的概念例推而广之:按照一阶导数的极限形式,有和一个函数的导函数不一定再可导,也不一定连续.如果函数f(x)在区间I上有直到n阶的导数f(n)(x),且f(n)(x)仍是连续的(此时低于n阶的导数均连续),则称f(x)在区间I上n阶连续可导,记为如果f(x)在区间I上的任意阶的高阶导数均存在且连续,则称函数f(x)是无穷次连续可导的,记为…………………………解例注意,当k=n时综上所述：解例多项式的高阶导数.………………解例对多项式而言,每求一次导数,多项式的次数降低一次;n次多项式的n阶导数为一常数;大于多项式次数的任
5、何阶数的导数均为0.求y=ex的各阶导数.解y=ex的任何阶导数仍为ex例求y=ax的各阶导数.解运用数学归纳法可得例求y=lnx的各阶导数.解设例类似地,有则故由数学归纳法得解注意这里的方法例即类似地,有解看出结论没有？例运用数学归纳法可以证得类似地,可求得解例解二阶导数经常遇到,一定要掌握.例解由复合函数及反函数的求导法则,得例解例高阶导数的运算法则设f(x),g(x)有直到n阶的导数,则(1)(2)莱布尼兹公式两个基本公式由于故解例解由莱布尼兹公式例证看出一点什么没有？你打算怎么处理此式？例对上式关于x求导n次：故即隐函数及参数方程确定的函数的高阶导数原则是
6、:按照高阶导数的定义,运用隐函数及参数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求导.对方程两边关于x求导:解想想如何求二阶导数？例对方程两边关于x求导,得:对该方程两边关于x求导:解从而其中,例方程两边对x求导解例故参数方程求导法则：设解例参数方程求导并不难啊！解例例解
