线性代数课件--11向量的内积

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1、主要内容第十一讲向量的内积基本要求向量的内积、长度、正交的概念；正交向量组、规范正交基的概念，施密特正交化方法；正交矩阵的概念和性质.了解向量的内积、长度、正交、规范正交基、正交矩阵等概念，知道施密特正交化方法.1课件第一节向量的内积长度及正交性一、向量的内积1.内积的定义令称为向量与的内积.定义设有维向量2课件在定义内积之前，向量之间的运算只定义了加法与数乘；如果把3维向量空间与解析几何中3维几何空间（或称欧式空间）相比较，会发现前者缺少向量的几何度量性质，如向量的长度、两向量的夹角等，但向量的几何度量性质在许多问题中有着特殊的地位.在定义了内积

2、后，3维向量空间与解析几何中3维几何空间是类似的.3维向量空间中向量的内积类似于3维几何空间的向量的数量积.维向量的内积可看作是数量积的一种推广.向量的内积是两个向量之间的另一种运算，其结果是一个数，用矩阵记号表示，当与为列向量时，有说明3课件2.内积的性质⑸（施瓦茨不等式）⑴⑵⑶⑷当时，当时，4课件二、向量的长度1.定义设维向量令称为向量的长度（或范数）.当时，称为单位向量.说明当时，按此定义的向量的长度与几何空间中的向量的长度是一致的.5课件2.向量的长度的性质⑴非负性⑵齐次性⑶三角不等式当时，；当时，；说明当时，三角不等式的几何解释为证明6课

3、件3.两向量之间的夹角的长度的长度与的数量积与夹角余弦当时，有设为维向量，称为维向量与的夹角.7课件三、向量的正交性1.向量正交当时，称向量与正交.说明显然，若，则与任何向量都正交.当为2或3维向量时，正交的几何解释为8课件2.正交向量组设向量组若满足⑴都是非零向量；⑵当时，则称为正交向量组.即一组两两正交的非零向量构成的向量组称为正交向量组.9课件定理1若维向量是一组两两正交的非零向量，则线性无关.即正交向量组是线性无关向量组.证设存在使因为两两正交，即有以左乘上式两端，得所以又，故从而必有类似可证必有10课件例1已知3维向量空间中两个向量正交，

4、试求一个非零向量，使两两正交.解析：此题是一个常见问题.解此题的关键是将所提问题转化为求一个齐次线性方程组的非零解的问题.因为所求向量，满足两两正交，即有是的非零解.11课件记要求应满足齐次线性方程组，即于是得的基础解析为，取即为所求.12课件3.规范正交向量组和规范正交基⑵都是单位向量，即⑴两两正交，即设维向量组是向量空间的一个基，若满足当时，则称是的一个规范正交基.13课件例如设就是的一个规范正交基.14课件设是的一个规范正交基，若中任一向量由线性表示的表示式为则有向量在规范正交基中的坐标的计算公式这是因为15课件因为例如已知向量组是的一个规范

5、正交基，中的坐标为向量在16课件验证：17课件4.施密特(Schimidt)正交化这就是把已知基规范正交化问题.正交化：构造正交向量组，且满足与等价.令已知是向量空间的一个基，要求的一个规范正交基.18课件单位化：构造两两正交的单位向量组，且满足与等价.令说明上述的正交化过程称为施密特(Schimidt)正交而且满足由此过程得到的向量组不仅化过程.满足与等价，与等价.当向量的维数为3，向量个数也是3时，施密特正交化的几何解释为19课件20课件例2设试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.解析：这是一道熟悉施密特正交化过程的训练题.正交化21课件单

6、位化于是即是所求的向量组.22课件例3已知，求一组非零向量，使两两正交.解析：此例与例1是同一类问题，不过这里是要把所提问题转化为求一个齐次线性方程组的正交基础解系.具体方法是，先求出基础解系，然后用施密特正交化过程把所得的基础解系正交化.应满足方程，即它的基础解系为23课件把基础解系正交化，即得所求.即24课件说明此例可推广为：⑴设是维非零向量，求非零向量使两两正交；⑵设是维正交向量组，求非零向量使两两正交；此例的几何意义是中任一正交向量组一定能够扩充成的一个正交基，进而得到一个规范正交基.25课件四、正交矩阵与正交变换1.概念的引入设是维规范正

7、交向量组，令则有——正交矩阵26课件2.正交矩阵定义如果阶矩阵满足（即），那么称为正交矩阵，简称正交阵.例如矩阵可以验证是正交阵.27课件3.正交阵的性质⑴方阵为正交矩阵的充要条件是的列向量组都是单位向量，且两两正交；⑵方阵为正交矩阵的充要条件是的行向量组都是单位向量，且两两正交；⑶若为正交阵，则也是正交阵；⑷若为正交阵，则⑸若和都是正交阵，则也是正交阵.⑹若为正交阵，则且28课件4.正交变换定义设为正交阵，则线性变换称为正交变换.性质正交变换保持向量的长度不变.这是因为29课件正交变换的几何意义:30课件五、小结本章的中心主题是方阵的对角化问题.

8、它涉及到许多概念，如本节中的向量的内积、向量的长度、向量的正交性、正交阵等；向量的内积：两个向量的对应分量乘积之和；向量的