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1、习题7—5(第191页)1.求下列函数展开成麦克劳林级数并求其成立的区间:1习题7—5(第191页)23第八章微分方程一、微分方程的基本概念4(一)引例解:设曲线方程y=y(x),由题意且满足由例1.已知一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率为其横坐标的2倍,求这曲线方程.5例2.只在重力下(不计空气阻力),一质量为m的质点自由下落,求质点运动的规律(位置与时间的解:设物体下落的铅垂线为x轴,向下为正,点o为质点运动的起点,由牛顿第二定律F=ma,(a—加速度,F—作用力)质点只受重力作用F=mg关系).xo则x=x(t).
2、6对t两次积分：由初始时刻t=0,质点的初始位置x=0及初始速度为0,即7(二)基本概念表示未知函数、未知函数的导数与自变量之说明：1.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程,方程中可以不出现自变量x与未知函数y,数或微分必须出现.未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程,如但y的导定义:间关系的方程,称为微分方程.其一般形式：82.方程中出现的未知函数的各阶导数的最高阶数,称为微分方程的阶.如:例1为一阶,例2为二阶.3.能使方程成为恒等式的函数,称为微分方程的解.特别地：(1)带有与方程阶数相同个数的任意常数(且相互独立)n阶方程的通解的一般
3、形式：的解称为微分方程的通解.(2)确定了通解中任意常数的解称为微分方程的特解.请同学们讨论：习题8-2(第206页)194.由实际情况提出的可确定通解中任意常数的条件称为初始条件.初始条件个数=通解中任意常数个数=方程阶数如:求微分方程满足初始条件的特解问题,称为微分方程的初值问题,形式为：10证：代入方程左端:=1=右端证毕11解:消去了C1,C2的关系式就是所要求的微分方程.①②③①－③即为所求微分方程.12一阶微分方程的一般形式:二、一阶微分方程一阶微分方程有时也可写成如下的对称形式:两种形式是等价的.(一)变量可分离的微分方程13若一个一阶微
4、分方程可化成的形式,则称此方程为可分离变量的微分方程.或可分离变量方程的解法:①两边积分,得②则有②为方程①的隐式通解.14解:+C即为所求微分方程的通解.15解:所以所求特解：163.解:其为所求微分方程的通解.即17则称f(x,y)为k次齐次函数.则f(x,y)为零次齐次函数,若方程可表为:则称此方程为齐次微分方程.的形式,(二)齐次微分方程且有18例:解法：分离变量:(积分,回代)齐次方程齐次方程19解:求下列微分方程的通解:分离变量：回代即为所求通解.20分析:计算比较繁琐,现把x与y的地位互换一下,从而有下列解法.21解:分离变量:所以所求通
5、解:222.求微分方程满足所给初值条件的特解:解:则方程通解为所以方程特解为原齐次方程可化为两边积分得23(三)一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式:其中P(x),Q(x)为已知的连续函数.说明：一次,故称为线性方程.2)P(x),Q(x)可为任意的连续函数.1)方程中未知函数y及其导数的次数均为243)方程中Q(x)称为自由项或干扰项,非齐次项.称为一阶齐次线性方程.称为一阶非齐次线性方程.(1)(2)(1)变量可分离微分方程——(1)的通解25①②③先求出对应的齐次线性方程(1)的通解：以C(x)代替C,即令把所令y代入方程：(C:任意常数)
6、④得非齐次线性方程(2)的通解：求出C(x):(2)常数变易法26非齐次线性方程(2)的通解结构:=I+II非齐次通解y=+=非齐次特解+对应齐次通解27例1：解：x28例2：解:29例2：30所以则所求的特解为例2：31例3.解:32课外作业习题8-3(第212页)1(3),2(2),4(2),5(1)33二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程。二阶微分方程的一般形式：主要介绍：(1)可降阶的二阶微分方程；(2)二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程。34三、可降阶的高阶微分方程35(一)所以同理可得依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.型的微
7、分方程36例：解：+C1;+C1x+C2;+C3.37方程中不出现未知函数y.解法：变量代换，降阶代入方程：为一阶微分方程，解此一阶微分方程，特点：最后得原方程通解：381.变量可分离方程解：P=C1x,即391.解：由初值条件得：则所求特解为402.解：一阶非齐次线性方程41课外作业习题5-6(3)(第135页)1(1,6),342四、二阶线性微分方程解的性质与通解结构未知函数及其各阶导数都是一次的方程，称n阶线性微分方程的一般形式是：称其为齐次线性微分方程；称其为非齐次线性微分方程。为线性微分方程。43二阶齐次线性微分方程：二阶非齐次线性微分方程：
8、(1)(2)引进记号L：则(1)(2)44定理1：设y1,y2是L[y]=0(1)的两个解，也
