多元函数的极值及其求法(V)

《多元函数的极值及其求法(V)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘子(数)法小结思考题作业7.8多元函数的极值与最值第8章多元函数微分法及其应用2在管理科学、常常需要求一个多元函数的最大值或最小值,它们统称为最值.通常称实际问题中出现的需要求其最值的函数为该函数的自变量被称为变量.决策相应的问题在数学上被称为优化问题.与一元函数中的情形类似,多元函数的最值也与其极值有密切关系,所以首先研究最简单的多元函数二元函数的极值问题.所得到的结论,大部分可以推广到三元及三元以上的多元函数中.经济学和许多工程、科技问题中,目标函数,3一元函数极值的必要条件如果函数f(x)在x0处可导,极值,那么一元函数极值(第二)充分条

2、件极大值(极小值).回忆且f(x)在x0处取得则f(x0)为4一、多元函数的极值和最值1.极大值和极小值的定义一元函数的极值的定义是在一点附近将函数值比大小.则称点P0(x0,y0)为函数的极大值点,设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某f(x0,y0)为函数的极大值.回忆定义邻域内有定义,若在此邻域内对异于P0的点,恒有(或极小)(或极小)5注函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值点与极小值点统称为函数的多元函数的极值也是局部的,一般来说:极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.有时,极值.极值点.邻域内的值比较.是与P0的极小值可能比极大值还大.6例例

3、例函数存在极值,在(0,0)点取极小值.在(0,0)点取极大值.(也是最大值).在(0,0)点无极值.?椭圆抛物面下半个圆锥面马鞍面在简单的情形下是容易判断的.函数函数(也是最小值).函数72.极值的必要条件证定理(极值的必要条件)则它在该点的偏导数必然为零:有极大值,不妨设z=f(x,y)在点(x0,y0)处都有说明一元有极大值,必有类似地可证设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值,则对于(x0,y0)的某邻域内任意函数f(x,y0)在8推广如果三元函数u=f(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)具有偏导数,则它在P(x0,y0,z0)有

4、极值的必要条件为:9均称为函数的仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,驻点(稳定点).从几何上看,此时如曲面z=f(x,y)在点(x0,y0,z0)处有切平面,则驻点极值点如,驻点,但不是极值点.注成为平行于xOy坐标面的平面如何判定一个驻点是否为极值点?103.极值的充分条件定理(极值的充分条件)在点(x0,y0)的某邻域内有连续的二阶偏导数,且则f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下:(1)有极值,有极大值,有极小值;(2)没有极值;(3)可能有极值,也可能无极值.设函数z=f(x,y)11求函数z=f(x,y)极值的一般步骤:第一步:解方程组求出实数解,得

5、驻点.第二步:对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数的值第三步:定出的符号,再判定是否是极值.12例1解又在点(0,0)处,在点(a,a)处,即的极值.故f(x,y)在(0,0)无极值;故f(x,y)在(a,a)有极大值,13练习考研数学二,选择题,4分(A)不是f(x,y)的连续点.(B)不是f(x,y)的极值点.(C)是f(x,y)的极大值点.(D)是f(x,y)的极小值点.D解又在点(0,0)处,故点(0,0)为函数z=f(x,y)的一个极小值点.14解求由方程将方程两边分别对x,y求偏导数,驻点为将上方程组再分别对x,y求偏导数,令例215故函数在P有极值.代入原方程,

6、为极小值;为极大值.所以所以驻点将16求由方程解练习法二配方法方程可变形为于是显然,根号中的极大值为4,※由※可知,为极值.即为极大值,为极小值.17处取得.然而,如函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,如:函数但函数在点(0,0)处都具有极大值.在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外,还应研究偏导数不存在的点.注由极值的必要条件知,极值只可能在驻点但也可能是极值点.在点(0,0)处的偏导数不存在,下半个圆锥面18求一元连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值4.多元函数的最值回忆的一般步骤:其中最大(小)者就是f(x)在闭区将闭区间[a,b]内所有驻点和导数不存在的点

7、区间端点的函数(即为极值嫌疑点)处的函数值和值f(a),f(b)比较,间[a,b]上的最大(小)值.19其中最大者即为最大值,与一元函数相类似,求最值的一般方法最小者即为最小值.将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,可利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.20解(1)求函数在D内的驻点由于解得驻点为(2)求函数在D边界上的最值区域D有四条边界线,现有正方形钢板,若以正方形中心为原点温度函数为例3建立平面直角坐标系(如图)