多元函数极值及应用

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1、第十二章第六节一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值机动目录上页下页返回结束多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值和最值1、二元函数极值的定义例1例２例３(3)(2)(1)2、多元函数取得极值的条件证仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点偏导数存在的极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：证:由二元函数的泰勒公式,并注意则有所以机动目录上页下页返回结束其中,,是当h→0,k→0时的无穷小量,于是(1)当AC－B2＞0时,必有A≠0,且A与C同号,可见,从而△z＞0,因此机动目录上页下页返回结束从而△z＜0,(2)当AC－B2＜0

2、时,若A,C不全为零,无妨设A≠0,则时,有异号;同号.可见△z在(x0,y0)邻近有正有负,++－若A＝C＝0,则必有B≠0,不妨设B＞0,此时可见△z在(x0,y0)邻近有正有负,(3)当AC－B2＝0时,若A≠0,则若A＝0,则B＝0,为零或非零机动目录上页下页返回结束此时因此第十节目录上页下页返回结束不能断定(x0,y0)是否为极值点.例1求函数的极值。解求解方程组：得驻点因此，驻点因此，驻点因此，驻点与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。例如，显然函数不存在。例2.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)

3、点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为机动目录上页下页返回结束求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3、多元函数的最值解令最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据机动目录上页下页返回结束例4.解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为则水箱所用材

4、料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.机动目录上页下页返回结束例5.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解:设折起来的边长为xcm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.为问怎样折法才能使断面面机动目录上页下页返回结束令解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.机动目录上页下页返回结束4、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值

5、的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化机动目录上页下页返回结束方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记例如,故故有机动目录上页下页返回结束引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.机动目录上页下页返回结束推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件机动目录上页下页返回结束例6.要

6、设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问机动目录上页下页返回结束得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为机动目录上页下页返回结束思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:长、宽、高尺寸相等.内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻

7、点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法机动目录上页下页返回结束设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题在条件求驻点.机动目录上页下页返回结束已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点C,使△ABC面积S△最大.解答提示:设C点坐标为(x,y),思考与练习则机动目录