2014年考研级数典型例题(完美版讲析)

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1、常数项级数内容要点一，概念与性质(一)概念由数列构成的式子称为无穷级数，简称为级数.称为级数的一般项，称为级数的部分和.如果,则称级数收敛，称为该级数的和.此时记.否则称级数发散.（二）性质1,若收敛，则2,若,收敛，则3,级数增减或改变有限项，不改变其敛散性.4,若级数收敛，则任意加括号后所成的级数仍收敛.5(收敛的必要条件),若收敛，则注意：若则必发散.而若发散,则不一定(三)两个常用级数1,等比级数2,级数二，正项级数敛散性判别法(一)比较判别法52设均为正项级数，且,则收敛收敛；发散发散(一)极限判别法如果,则发散；如果对,则则收敛.(二)比值判别法设为正项级数，若一，交错级数收敛

2、性判别法莱布尼兹判别法：设为交错级数，如果满足：1,2,则此交错级数收敛.二，任意项级数与绝对收敛（一）绝对收敛如果收敛，则称绝对收敛.（二）条件收敛如果收敛，但发散,则称条件收敛.（三）定理若级数绝对收敛，则该级数必收敛.函数项级数一、主要内容1、基本概念函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数52幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域2、一致收敛性A、函数列一致收敛性的判断：（1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性（2）Cauchy收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断（3）确界（最大值方法）：（4）估计方法：（5）Dini-定理

3、：条件1）闭区间；2）连续性；3）关于的单调性注、除Cauchy收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。注、Dini定理中，要验证的关键条件是关于n的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的x，作为数列关于n是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存

4、在N，当n>N时”条件成立即可，但是，要注意N必须是与x无关的，即当n>N时，对所有任意固定的x，关于n单调，因此，此时的单调性也称为对n的单调性关于x一致成立。非一致收敛性的判断（1）定义（2）Cauchy收敛准则（3）确界法：存在，使得不收敛于0（4）和函数连续性定理（5）端点发散性判别法：在c点左连续，发散，则在内非一致收敛注、在判断非一致收敛性时，按照使用时的难易程度，可以按如下顺序使用相应的方法进行判断：端点发散性判别法、和函数连续性定理、确界方法、定义法、Cauchy收敛准则。B、函数项级数一致收敛性的判断（1）定义（2）Cauchy收敛准则（3）转化为函数列（部分和）52（4

5、）余项方法：一致收敛于0（5）几个判别法：W-法，Abel法，Dirichlet法，Dini-法经典例题例1判断级数(1)；(2)的敛散性.解：(1)=收敛(2)由于故发散.例2判别级数.(1)；(2)；(3)的敛散性.解：(1)由于(,而收敛故由比较判别法可知级数收敛.(2)由于(,而发散，由比较判别法可知级数发散.(3)由于,而发散，由比较判别法可知级数发散.例3判别下列级数的敛散性：(1)；(2)解：用比值判别法(1)故收敛；52(2)故发散.例4判别级数(1)；（2）的敛散性.解：(1)由于,故由极限判别法可知级数发散.(2)由于故由极限判别法可知级数收敛.例5问级数是收敛还是发散

6、？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？解：由茉布尼兹判别法可知与均收敛，从而原级数收敛.另一方面，，而发散，故由比较判别法可知发散，从而原级数是条件收敛.练习题1,用比较判别法判别下列级数的敛散性.(1)(2)(3)(4)2,用比值判别法判别下列级数的敛散性.(1)(2)(3)3,用极限判别法判别下列级数的敛散性.52(1)(2)4判断下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)(2)(3)(4)[答案：1,(1)收敛(2)收敛(3)收敛(4)发散2,(1)收敛(2)收敛(3)收敛3,(1)发散(2)收敛4,(1)条件收敛(2)绝对收敛(3)绝对收敛(4)条件收敛]5求幂级数的收

7、敛半径与收敛域.解：由于=所以,收敛半径收敛区间为当时,原级数为收敛；当时,原级数为发散.故收敛域为6.求幂级数的和函数.解：不难求得收敛域为设和函数为即,逐项求导，,再积分，便得,527.求幂级数的收敛域及和函数.解：当时，原级数=发散，故收敛域为====8.将函数展开成的幂级数.解：由于故=,练习题1,求下列幂级数的收敛半径与收敛域.(1)(2)(3)(4)2,求下列幂级数的收敛域及和函数.(1)(2)(3)3,将下