选修4-5 不等式选讲(一轮)

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1、选修4－5　不等式选讲第一节　绝对值不等式[考情展望]　1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：

2、a＋b

3、≤

4、a

5、＋

6、b

7、(a，b∈R)；

8、a－b

9、≤

10、a－c

11、＋

12、c－b

13、(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

14、ax＋b

15、≤c；

16、ax＋b

17、≥c；

18、x－c

19、＋

20、x－b

21、≥a.1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则

22、a＋b

23、≤

24、a

25、＋

26、b

27、，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么

28、a－c

29、≤

30、a－b

31、＋

32、b－c

33、，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时

34、，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式

35、x

36、

37、x

38、>a的解集不等式a>0a＝0a<0

39、x

40、

41、－a＜x＜a}∅∅

42、x

43、>a{x

44、x＞a或x＜－a}{x∈R

45、x≠0}R(2)

46、ax＋b

47、≤c、

48、ax＋b

49、≥c(c＞0)型不等式的解法：①

50、ax＋b

51、≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②

52、ax＋b

53、≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)

54、x－a

55、＋

56、x－b

57、≥c、

58、x－a

59、＋

60、x－b

61、≤c(c＞0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

62、③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.考向一　绝对值三角不等式的应用　设不等式

63、x－2

64、＜a(a∈N*)的解集为A，且∈A，∉A.(1)求a的值；(2)求函数f(x)＝

65、x＋a

66、＋

67、x－2

68、的最小值．【解】　(1)∵∈A，∉A，∴＜a，且≥a，因此＜a≤，又a∈N*，从而a＝1.(2)由(1)知，f(x)＝

69、x＋1

70、＋

71、x－2

72、，又

73、x＋1

74、＋

75、x－2

76、≥

77、(x＋1)－(x－2)

78、＝3，当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时等号成立．故f(x)的最小值为3.规律方法1　1.本题常见的错误：(1)不能由∉

79、A，得a≤；(2)第(2)问中，不能利用绝对值三角不等式进行放缩，这是失分的主要原因．2．利用绝对值三角不等式求最值时，可借助绝对值三角不等式性质定理：

80、

81、a

82、－

83、b

84、

85、≤

86、a±b

87、≤

88、a

89、＋

90、b

91、，通过适当的添、拆项来放缩求解，但一定要注意取等号的条件．对点训练　对任意x，y∈R，求

92、x－1

93、＋

94、x

95、＋

96、y－1

97、＋

98、y＋1

99、的最小值．【解】　∵x，y∈R，∴

100、x－1

101、＋

102、x

103、≥

104、(x－1)－x

105、＝1，

106、y－1

107、＋

108、y＋1

109、≥

110、(y－1)－(y＋1)

111、＝2，∴

112、x－1

113、＋

114、x

115、＋

116、y－1

117、＋

118、y＋1

119、≥3.∴

120、x－1

121、＋

122、x

123、＋

124、y－1

125、

126、＋

127、y＋1

128、的最小值为3.考向二　含绝对值不等式的解法　(2014·课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝＋

129、x－a

130、(a>0)．(1)【证明】　f(x)≥2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围．【解】　(1)由a>0，有f(x)＝＋

131、x－a

132、≥＝＋a≥2.所以f(x)≥2.(2)f(3)＝＋

133、3－a

134、.当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5，得3

135、对参数a的结论有两种情形，a的取值范围是各类情形的并集．2．本题解不等式，是运用零点分区间讨论，另外还常用绝对值的几何意义数形结合求解．对点训练　已知函数f(x)＝

136、x＋a

137、＋

138、x－2

139、.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤

140、x－4

141、的解集包含[1,2]，求a的取值范围．【解】　(1)当a＝－3时，不等式f(x)≥3化为

142、x－3

143、＋

144、x－2

145、≥3.(*)若x≤2时，由(*)式，得5－2x≥3，∴x≤1.若2＜x＜3时，由(*)式知，解集为∅.若x≥3时，由(*)式，得2x－5≥3，∴x≥4.综上可知，f(x

146、)≥3的解集是{x

147、x≥4或x≤1}．(2)原不等式等价于

148、x－4

149、－

150、x－2

151、≥

152、x＋a

153、，(**)当1≤x≤2时，(**)式化为4－x－(2－x)≥

154、x＋a

155、，解之得－2－a≤x≤2－a.由条件，[1,2]是f(x)≤

156、x－4

157、的解集的子集，∴－2－a≤1且2≤2－a，则－3≤a≤0，故满足条件的实数a的取值范围是[－3,0]．考向三　绝对值不等式的综合问题　已知f(x)＝

158、ax＋1

159、(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x

160、－2≤x≤1}．(1)求a的值；(2)若≤k恒成立，求k的取值范围．【解】　(1)由

161、ax＋1

162、≤3得－4

163、≤ax≤2.又f(x)≤3的解集为{x

164、－2≤x≤1}，∴当a≤0时，不合题意．当a>0时，－≤x≤，因此－＝－2且＝1，∴a＝2.(2)法一　由(1)知f(x)＝

165、2x＋1

166、，记h(x)＝f(x)－2f＝