离散数学 赵一鸣 阚海斌 吴永辉 dshu12n

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1、定义14.15：设[I;+,*]为环[R;+,*]的理想,称[R/I;,]为环[R;+,*]关于理想I的商环,简记为R/I或R-I。设[F[x];+,*]是域F上的多项式环,p(x)F(x),且degp(x)=n>0,则(p(x))={p(x)*h(x)

2、h(x)F(x)}是多项式环的理想.[F[x]/(p(x));,]是商环,其零元(的单位元)是(p(x))+0,其单位元是(p(x))+1,这里0是F[x]的零元,1是F[x]的单位元.F[x]/(p(x))=[Z2[x];+,*]是Z2上的多项式环。取p(x)=x2+x+1,则:Z2[

3、x]/(p(x))={(p(x)),(p(x))+1,(p(x))+x,(p(x))+(x+1)},简化为{0,1,x,x+1}定理14.17:F[x]为域F上的多项式环,商环F[x]/(p(x))是域,当且仅当p(x)为F[x]上的不可约多项式。证明:(1)商环F[x]/(p(x))是域,证明p(x)为不可约多项式反证,若p(x)可约,则存在h(x),g(x)F(x),且0

4、x]/(p(x))的零元.但((p(x))+h(x))((p(x))+g(x))=(p(x))+h(x)g(x)=(p(x))+p(x)=(p(x))为F[x]/(p(x))的零元而F[x]/(p(x))是域,无零因子.(2)p(x)为F[x]上的不可约多项式,证明商环F[x]/(p(x))是域首先可以知道F[x]/(p(x))是交换环.且有单位元(p(x))+1.关键是考虑F[x]/(p(x))中每个非零元是否都存在逆元.对F[x]/(p(x))中任意非零元(p(x))+r(x),其中degr(x)

5、),r(x))=aF*.由定理14.9(2),存在s(x),t(x)F(x),使得p(x)s(x)+r(x)t(x)=a因此(p(x))+a-1t(x)是(p(x))+r(x)的逆元推论14.4:Zp=Z/(p)为域当且仅当p为素数例:讨论商环Z3[x]/(x4+1)是否为域。x4+1=(x2+2x+2)(x2+x+2),所以Z3[x]/(x4+1)不是域Z3[x]/(x2+1)x2+1在Z3上不可约,Z3[x]/(x2+1)为域Z3[x]/(x2+1)={ax+b

6、a,bZ3}共有9个元素省略了(x2+1)。常以这种简化的方式写商域中的元素各非

7、零元素的逆。多项式关于某个不可约多项式模的逆的计算x8+x4+x3+x+1是Z2上的不可约多项式。Z2[x]/(x8+x4+x3+x+1)是域。x6+x4+x2+x+1,x7+x+1Z2[x]/(x8+x4+x3+x+1)(x6+x4+x2+x+1)(x7+x+1)mod(x8+x4+x3+x+1)=x7+x6+1(x6+x4+x2+x+1)Z2[x]/(x8+x4+x3+x+1)其逆元是x7+x5+x4+x3+x2+x+1方法：利用1=s(x)f(x)+t(x)g(x)即1=s(x)(x6+x4+x2+x+1)+t(x)(x8+x4+x3+x+

8、1)实质是求s(x)利用辗转相除法x8+x4+x3+x+1=(x2+1)(x6+x4+x2+x+1)+x4x6+x4+x2+x+1=(x2+1)x4+x2+x+1x4=(x2+x)(x2+x+1)+xx2+x+1=(x+1)x+1故1=(x2+x+1)-(x+1)x=(x2+x+1)-(x+1)(x4-(x2+x)(x2+x+1))=(1+(x+1)(x2+x))(x2+x+1)+(x+1)x4=(1+(x+1)(x2+x))((x6+x4+x2+x+1)-(x2+1)x4)+(x+1)x4=(x3+x+1)(x6+x4+x2+x+1)+((x3+x+

9、1)(x2+1)+(x+1))x4=(x3+x+1)(x6+x4+x2+x+1)+(x5+x2)((x8+x4+x3+x+1)-(x2+1)(x6+x4+x2+x+1))=((x3+x+1)+(x5+x2)(x2+1))(x6+x4+x2+x+1)+(x5+x2)(x8+x4+x3+x+1)=(x7+x5+x4+x3+x2+x+1)(x6+x4+x2+x+1)+(x5+x2)(x8+x4+x3+x+1)所以x6+x4+x2+x+1关于模x8+x4+x3+x+1的逆元是：x7+x5+x4+x3+x2+x+1定理14.18:R为有单位元交换环,且R{0}

10、,则R为域当且仅当R只有平凡理想{0}与R证明:(1)R是域.若R存在非平凡理想I,则存在a