离散数学 赵一鸣 阚海斌 吴永辉 dshu17n

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1、一、基本概念1.代数系统运算，SnS的映射称为S上的n元运算代数系统：一个非空集合S,与一个或若干个定义在S上的运算Q1,…,Qk(k1),就构成了一个代数系统,表示为[S;Q1,…,Qk]。单位元，结合律，交换律，逆元，零元，分配律同态，同构2.相容设“~”为S上的等价关系，“*”为S上的二元运算。若对任意a,b,c,dS，当a~b，c~d时，必有ac~bd，则称等价关系~与运算是相容的，称~为代数系统[S;]的相容等价关系。3.半群，拟群，群有关定理4.元素的阶和群的阶定义,结论5.

2、子群与陪集概念,定理,陪集的实质6.商群与群同态基本定理7.环的基本概念环的零元,环的单位元,交换环在环中讨论元素可逆1-un=(1-u)(1+u+u2++un-1)8.特征数整环的特征数9.子环，理想，商环9.主理想,主理想环10.多项式环11.扩域与单扩域线性空间与域的关系素域12.代数元与代数扩域极小多项式13.根域根域的存在性与唯一性(同构意义下)14.有限域，形式微商15.本原元与本原多项式二、证明及判别、计算1.群元素阶与群的阶陪集与划分,拉格朗日定理应用,特别是补充证明的一些结论。子群

3、，正规子群的验证和证明设是群G上的等价关系,并且对于G的任意三个元素a,x,x‘，若axax’则必有xx‘。证明：与G中单位元等价的元素全体构成G的一个子群。H={xG

4、xe}对任意的xH，xe=xe=xx-1，因此有ex-1，所以x-1H，对任意的x,yH，有xe，ye，即x-1xy=eye=x-1x，因此有xyxe，所以xyH用群同态基本定理证明群同构2.环理想,子环的判别设环R存在唯一一个右单位元，证明该环一定存在单位元。er为右单位元，对任意的a∈R，(era-

5、a+er)，设法证明(era-a+er)也是右单位元设A是环R的理想，B是R的子集，B={b

6、对任意aA,ba=0}，证明：B是环R的理想。商环中的元素表示零因子用环同态基本定理证明环同构求多项式的逆3.域扩域,代数元求在有理数域上的极小多项式.4.根域确定根域,及扩张次数有限域的根域存在性,唯一性证明方法重根与形式微商Zp上n次不可约多项式根域定理:Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域是GF(pn)=Zp()5.本原元与本原多项式有关定理和结论的证明GF(pn)的表述,化简求出所有本原元,本原

7、多项式已知为GF(pn)上的本原元，怎样求出GF(pn)上的所有本原元？GF*(pn)中的每个元素可表示为的幂次形式k。由习题14.19知，k的阶为pn-1当且仅当(k,pn-1)=1，即k为本原元当且仅当(k,pn-1)=1。因此我们就可在,2,pn-1中找出所有的本原元。已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),怎样求出所有的n次本原多项式?1.为本原多项式f(x)的根,则有f(x)=(x-)(x-p)(x-p2)(x-pn-1)2.已知Zp上的一个n次本原多项式f(x

8、),求所有n次本原多项式的方法是:(1)先求出f(x)的一个根,即本原元,然后求出GF(pn)中的所有本原元,(2)根据求出的本原元按结论1中的方法构造其他本原多项式.3.凡不可约多项式若有一个根是本原元,则它的所有根都是本原元,即,它一定是本原多项式.已知x4+x+1是Z2上的本原多项式,设是x4+x+1的根,(1)求出GF(16)上的所有本原元，并用的幂次形式表示.(2)求出Z2上的所有四次本原多项式。与15互质：1，2，4，7，8，11，13，14，2，4，7，8，11，13

9、，14，(x-)(x-2)(x-4)(x-8)(x-7)(x-(7)2)(x-(7)22)(x-(7)23)=(x-7)(x-14)(x-13)(x-11)定理2(艾森斯坦(Eisenstein)判别法)：设f(x)=a0+a1x+…+anxn是整系数多项式，若能找到一个素数p，使得(1)p不能整除an；(2)p

10、a0,a1,┅,an-1；(3)p2不能整除a0；那么，f(x)在有理数域上不可约。1.证明2xn+9x2+6(n>2)是有理数域上的不可约多项式。p=3基本概念要

11、清楚熟知的数集上性质注意按照定义和规则，不能想当然要有一定的灵活，善于思考考题类型：判断说明理由；证明，说明，计算考试时间：5月8日9:50—11:35地点：Z2108占总分40%第十六章格与布尔代数§1偏序与格一、格的一般概念偏序集(P;≤)是由一个非空的集合P及在P上定义的偏序关系≤构成在偏序集(P;≤)中，若对任意a,bP有a≤b或b≤a时称P为全序。定义16.1:设(L;≤)为偏序集,如果对任意的a,bL有最小上界与最大下界时,称L为格。以a