【教学设计】《简单的三角恒等变换》（人教版）

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1、《简单的三角恒等变换》成都二十中谢波老师第一课时教学目标【知识与技能】通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。【过程与方法】理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。【情感态度价值观】通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。教学重难点【教学重点】

2、引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。【教学难点】认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。教学过程（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式（二）新课讲授：1、由二倍角公式引导学生思考：有什么样的关系？学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台。例1、试以表示。解：我们可

3、以通过二倍角和来做此题。因为，可以得到；因为，可以得到。又因为。思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换。对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点。例2.已知，且在第二象限，求的值。例3、求证：（１）、；（２）、。证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手。；。两式相加得；即；（２）由（１）得①；设，那么。把的值代入①式中得。思考：在例3证明中用到

4、哪些数学思想？例3证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式。三、练习：P142页1、2、3题。四、小结：要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用。第二课时教学目标1、通过三角恒等变形，形如的函数转化为的函数；2、灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。教学重、难点【教学重点】三角恒等变形的应用。【教学难点】三角恒等变形。教学过程（一）复习：二倍角公式。（二）典型例题分析例1：；。解：（1）由得（2）例2、解：.例３、已知函

5、数（1）求的最小正周期，（2）当时，求的最小值及取得最小值时的集合。点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用。例4、若函数上的最大值为6，求常数m的值及此函数当时的最小值及取得最小值时的集合。（三）练习：教材P142页第4题。（四）小结：(1)二倍角公式：(2)二倍角变式：(3)三角变形技巧和代数变形技巧常见的三角变形技巧有①切割化弦；②“1”的变用；③统一角度，统一函数，统一形式等等。第三课时教学目标【知识与技能】熟练掌握三角公式及其变形公式。【过程与能力】抓住角、函数式得特点，灵活

6、运用三角公式解决一些实际问题。【情感与态度】培养学生观察、分析、解决问题的能力。教学难重点【教学重点】和、差、倍角公式的灵活应用。【教学难点】如何灵活应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明。教学过程例1：教材P141面例4例1.如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP＝a，求当角a取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.θ例2：把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）解：（1）如图，设矩形长为l，则面积，所以当且仅当即时，取得

7、最大值，此时S取得最大值，矩形的宽为即长、宽相等，矩形为圆内接正方形.（2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为，矩形长与宽分别为、，所以面积.而，所以，当且仅当时，S取最大值，所以当且仅当即时，S取最大值，此时矩形为内接正方形.PQRSO变式：已知半径为1的半圆，PQRS是半圆的内接矩形如图，问P点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积时的值。解：设则故S四边形PQRS故为时，课堂小结：建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题.课后作业1.阅读教材P.139到P.142;