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1、关于两个生物种群的竞争模型求解题：，=0.5，=1.6，=2.5，=1.8，=1.6，=1，初始条件1），初始条件2）问：（1）.用数值方法画出的曲线图；（2）.画出相轨线；（3）.从的图中观察时，的变化趋势，试图用稳定性的理论进行分析。答：(1)先依据微分方程建立函数文件xt.m。functiondy=xt(t,y)p1=0.5;p2=1.6;r1=2.5;r2=1.8;N1=1.6;N2=1;dy=zeros(2,1);dy(1)=r1*y(1).*(1-y(1)./N1-p1*y(2)./N2);dy(2)=r2*y(
2、2).*(1-y(2)./N2-p2*y(1)./N1);利用以下程序画出的曲线图。t0=0;tf=10;[t,y]=ode45('xt',[t0tf],[0.10.1]);%取初始条件一时，求微分方程数值解subplot(1,2,1);plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'r');%画出x1(t),x2(t)曲线图xlabel('时间t');ylabel('种群密度x');gtext('x1(t)');gtext('x2(t)');%作标记title('初值分别为0.1,0.1时两种群密度与时间关系');grid
3、on;[t2,y2]=ode45('xt',[t0tf],[12]);%取初始条件二时，求微分方程数值解subplot(1,2,2);plot(t2,y2(:,1),t2,y2(:,2),'r');%画出x1(t),x2(t)曲线图xlabel('时间t');ylabel('种群密度x');gtext('x1(t)');gtext('x2(t)');%作标记title('初值分别为1,2时两种群密度与时间关系');gridon;当取初始条件一时,的曲线图如图(一)：图(一)当取初始条件二时,的曲线图如图(二)：图(二)(2)
4、画出相轨线程序如下：t0=0;tf=10;[t,y]=ode45('xt',[t0tf],[0.10.1]);plot(y(:,1),y(:,2),'b');holdon;plot(y(1,1),y(1,2),'r+');xlabel('甲种群密度x1');ylabel('乙种群密度x2');%作标记[t2,y2]=ode45('xt',[t0tf],[12]);holdon;plot(y2(:,1),y2(:,2),'g');holdon;plot(y2(1,1),y2(1,2),'r*');gridon;title('甲
5、乙种群相轨线');作出图像如图(三),其中在初始条件一、二下的开始位置分别用“+”和“*”标记。图(三)(3)从图(一)和图(二)我们可以看出时，总趋向其最大容量1.6，而总趋向于0(趋向消亡)。我们可从稳定性的理论进行分析。求平衡点：令f(x1,x2)=g(x1,x2)=0，得到四个平衡点：P1(1.6,0)，P2(0,1)，P3(0,0)，P4(4,-3)。令稳定条件为p>0而且q>0，作表(一)：pq稳定条件P1r1-r2(1-s2)-r1r2(1-s2) s2>1(s1<1)P2-r1(1-s1)+r2-r1r2(1
6、-s1)s1>1(s2<1)P3-(r1+r2)r1r2 不稳定P4[r1(1-s1)+r2(1-s2)](1-s1s2)-1r1r2(1-s1)(1-s2)(1-s1s2)-1s1<1s2<1表(一)又因为=0.5，=1.6，满足s2>1且s1<1。依表(一)知P1是唯一稳定的平衡点。相平面上，即在x1-x2平面上研究方程解沿着t增加所表现出的趋势。可知x1(t)和x2(t)的增减由j=1-x1/N1-s1x2/N2和y=1-s2x1/N1-x2/N2决定。在s1<1，s2>1情况下，j=0和y=0将相平面分为三个区域：S
7、1：x’1>0,x’2>0;S2：x’1>0,x’2<0;S3：x’1<0,x’2<0.用程序作图：t0=0;tf=10;x1=0:0.1:1.6;x11=0:0.1:1;p1=0.5;p2=1.6;N1=1.6;N2=1;r1=2.5;r2=1.8;x21=N2*(1-x1./N1)/p1;x22=N2*(1-(p2/N1).*x11);plot(x1,x21,'r',x11,x22,'r')%作直线[t,y]=ode45('xt',[t0tf],[0.10.1]);[t1,y1]=ode45('xt',[t0tf],[1
8、2]);[t2,y2]=ode45('xt',[t0tf],[0.41.2]);holdon;plot(y(:,1),y(:,2),y(1,1),y(1,2),'r*');holdon;plot(y1(:,1),y1(:,2),y1(1,1),y1(1,2),'r*');holdon;pl
