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《2014秋华师本科《数学分析选论》作业》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2014春华师本科《数学分析选论》作业1.计算，其中为四分之一的边界，依逆时针方向.解设，，则原式＝＝.2.设是某可微函数的全微分，求的值.解不妨设该可微函数为，则按定义可得，，由此知.从而又得.联系到上面第一式，有或,从而.3.设,求.解方程组两边对求偏导得到,因此有，。方程组两边对求偏导得到,因此4.设由方程所确定，试求.解对原方程取对数，得，并该式两端对求导，有，即，再对上式两端对求导，得8.5.求椭圆面在处的切平面方程与法线方程.解设.由于在全空间上处处连续,在处于是,得切平面方程为,即.法线方程为6.设是由矩形区域，围成,试求的值.解由
2、于则7.计算,其中为由平面,,,,与所围成.解在平面上的投影区域为,于是8.计算，其中L是摆线的一段（）.解由,,可得,,则=9.求曲面被平面截下部分之曲面面积S.解由得，从而。注意到该曲面上的点关于平面对称，且其上半部分在平面上的投影为区域，从而有.810.试讨论函数在处的可微性.解.因为,所以,,其中,，由此知在处可微.11.求,其中是点A(2,0)到点O(0,0)的上半圆周.解用轴上直线段,使上半圆周和直线段构成封闭曲线.设,.有.于是,由格林公式知=.其中在直线段上,有,,则.因此12.计算曲面积分,其中为圆锥面被曲面所割下的部分.解对于
3、圆锥面，则，在平面上投影区域为：，于是13.求,其中S是边长为的正方体的外侧.8解利用高斯公式,得14设,而,.求,.和解.由于,,,,于是,.15.设是由方程，求.解方程两边对求偏导，有,因而.方程两边对求偏导，有,因而.故.16.设由方程所确定，试求.解对原方程两端对求导，可得，从而知.17试求椭球面内接最大长方体的体积.解易知，此内接长方体的六个面必分别平行于坐标平面。设此内接最大长方体在第一象限中的坐标为，由对称性可知该长方体的体积为，从而问题转化为求函数在条件下的最值问题。设辅助函数为,,则有8.从中可得出唯一解，，。根据几何性质不难推
4、知，该椭球面之内接长方体在第一象限的顶点为时达到最大体积18设是由直线和围成,试求的值.解先对积分后对积分.由分部积分法,知.19设=,试求的值.解利用极坐标变换20.求曲面被柱面与平面所割下部分的面积.解曲面方程表示为,,,于是所求面积S=..21计算，其中为以，，，为顶点的正方形封闭围线.解段：直线方程，，.段：直线方程，，.段：直线方程，，8段：直线方程，，于是有，=0.22计算，其中S是由曲面与平面所围成立体表面的外侧.解曲面S1取负侧，而投影区域为D1：，于是应用极坐标可得，曲面S2取正侧，而投影区域为D2：2，于是应用极坐标可得，于是
5、,.23试用变量代换计算下面的积分（1）,D由围成.（2）,.解（1）令，则D变成，且积分成为（（2）令，则D变成，且原积分成为24计算下列积分（1），是中的一条简单光滑闭曲线，在上连续可微.（2），是从点到点的直线段,是上的连续函数.解（1）由可知8，,其中是所围区域，由格林公式,可得.（2）由,可知，当时，有。从而取点。并作，使形闭曲线，记所围区域为，于是25判别下列表达式.是否某函数的全微分，若是的话，求出这个函数.解设，因为,则是某函数的全微分.且.26设证明:.证明对由于可知当时,便有.故27证明：方程所确定的隐函数满足.证明对方程两边
6、分别对和求偏导数，有，8分别解得，，于是，得到28设证明：不存在.证明注意到,它随而异，因此不存在.29.设在上可微函数满足+，试证：在极坐标系里只是的函数.证对于复合函数，,由于，=+，因此当时，，与无关，即在极坐标系里只是的函数.30设是上的正值连续函数，试证，其中是，.证明由于对上面区域变换积分变量记号时，积分区域不变，因此8
