数值分析Ch1引论

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1、《数值分析》第一章引论§1.数值分析及其特点1.数值分析及其主要内容数值分析也称计算方法，主要研究用计算机求解数学问题的数值方法及理论，内容主要包括：(1)数值逼近—插值与拟合、多项式逼近、有理逼近等(Ch2~Ch3)；(2)数值积分与微分(Ch4)；(3)数值代数—求解方程(组)以及特征问题的数值方法(Ch6~Ch9)；(4)常微分方程的数值解法(Ch5)。2.数值分析的特点(1)首先要有可靠的理论分析，以确保算法在理论上的收敛性和数值稳定性；(2)其次要对计算结果进行误差估计，以确定其是否满足精度；（见例3）(3)还要考虑算法的运行效率，即算法的计算量与存储量。例如，Cooley和Tuke

2、y1965年提出FFT，，N=32K，1000倍。例1分析用Cramer法则解一个阶线性方程组的计算量。解计算机的计算量主要取决于乘除法的次数。用Cramer法则解一个阶线性方程组需计算个阶行列式，而用定义计算阶行列式需次乘法，故总计共需。此外，还需次除法。当时，计算量约为次乘法。即使用每秒百亿次乘法的计算机，也需计算3000多年才能完成。可见，Cramer法则仅仅是理论上的，不是面向计算机的。§2.数值分析中的误差1.误差的类型与来源(1)模型误差；(2)观测误差；(3)截断误差(方法误差)—模型的准确解与数值方法准确解之间的误差；(4)舍入误差—实数形式的原始数据与有限字长的计算机数据之间

3、的误差。数值分析主要研究截断误差与舍入误差。例2根据Taylor展式计算(误差小于0.01)。6《数值分析》第一章引论解(截断误差)(舍入误差)。2.误差的基本概念(1)误差与误差限设为某量的精确值，为的一个近似值，则称为的（绝对）误差，为的相对误差。用某种方法确定的误差的某个上界称为的误差限，显然，即，称为的相对误差限。误差限取决于测量工具和计算方法。(2)函数值的计算误差设，为的近似值，则(多元函数一阶Taylor展式)，。§3.算法的数值稳定性与病态问题1.算法的数值稳定性例3计算，并做误差分析。解。算法1，结果见下表。又,。6《数值分析》第一章引论算法2，结果见下表。n算法1算法2准确

4、值01234560.18230.08850.05750.04580.02080.0958-0.31250.18230.08840.05800.04310.03440.02810.02620.18230.08840.05800.04310.03430.02850.0243误差分析:算法1，即在计算过程中误差放大了倍。算法2，即误差缩小了倍。定义1若某算法受初始误差或计算过程中产生的舍入误差的影响较小，则称之是数值稳定的，反之称为不稳定算法。2.病态问题例4将方程，即改为摄动方程，即，其中。Wilkinson用精密方法计算出其根为：。令，其根为，则当时，。显然反映了初始数据的微小摄动对的影响程度即

5、问题的条件数。6《数值分析》第一章引论因，故。146810~1920（坏条件问题）定义2若初始数据的微小误差都会对最终的计算结果产生极大的影响，则称这种问题为病态问题（坏条件问题），反之称其为良态问题。例5分别将线性方程组的右端向量和系数矩阵中数据做一个微小变化，具体数据如下：。。然后用精确方法求解，发现其解与原方程解相比发生了很大的变化。这表明此方程组为病态方程组。§4.算法的实现与常用的数学软件用计算机实现数值分析中的算法通常有两种途径：(1)用Fortran、C、VB、VC等自编程序；(2)借助于现成的数学工具软件。目前常用的数学软件约30余个，可分为通用与专用两大类。6《数值分析》第一

6、章引论专用系统主要是为解决数学中某个分支的特殊问题而设计的。1.SAS和SPSS（统计分析）；2.Lindo、Lingo和CPLEX（运筹与优化计算）；3.Cayley和GAP（群论研究）；4.PARI（数论研究）；5.Origin（科技绘图与数据分析）；6.DELiA（微分方程分析）等。通用系统中又可分为数值计算型与解析计算型。数值计算型：Matlab、Xmath、Gauss、MLAB和Origin等。解析计算型：Maple、Mathematica、Macsyma、Axiom和Reduce等。其中Matlab、Mathematica、Maple与另一个面向大众的普及型数学软件Mathcad并

7、称数学软件中的“四大天王”。Matlab意思为“矩阵实验室”，是美国计算机科学家CleveMoler在70年代末开发出的以矩阵数值计算为主的数学软件，如今已发展成为融科技计算、图形可视化与程序语言为一体的功能强大的通用数学软件。Matlab最突出的特点是其带有一系列的“工具包”，可广泛应用于自动控制、信号处理、数据分析、通讯系统和动态仿真等领域。高版本的Matlab也可进行符号计算，不过它的代数运