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1、§5.3稳定性判别方法1.线性定常系统的稳定性判别定理5.6设.(5.11)则(i)平衡点稳定ÛA的所有特征值的实部非正,且实部为零的特征值对应着一阶约当块；(ii)平衡点渐近稳定ÛA的所有特征值实部为负.证(i)因是线性系统,只需证明平衡点的稳定性.第29页共29页设.(注:与能控标准变换不同)其中为约当块，则.而的非零元素形如或或第29页共29页约当块阶数减1.如,则第29页共29页若.则à有界；若且对应一阶约当块à也有界.故有K>0，使.其中对，取.当时.有,故稳定；第29页共29页(ii)若全为,
2、则全à渐近稳定.例5.1设系统矩阵分别如下：.试判别的稳定性.解(1)由,得(2重),不稳定.(2)由,得和,因对应一阶约当块à是稳定的.第29页共29页(3)由,得à渐近稳定.若,常用Hurwitz判别法(介绍).定理5.7常系数n次代数方程的所有根的具有负实部Û下列不等式同时成立：第29页共29页.其中.例5.2验证系统矩阵为第29页共29页时,是渐近稳定的.证由.得及第29页共29页由Hurwitz判别法à所有特征值有负实部à渐近稳定.对非线性系统,常用李雅普诺夫判别法.2.稳定性的李雅普诺夫判别法
3、(介绍)(1)李雅普诺夫第一法(一阶近似)设n维非线性系统为,(5.12)第29页共29页且n维向量函数对有连续偏导.将在处展成泰勒级数,得.(5.13)其中为的高阶项,而第29页共29页称为雅可比矩阵.令和,得线性化方程：.(5.14)第29页共29页李雅普诺夫给出下述结论：(i)若A的所有特征值实部为负,则系统在平衡点是渐近稳定的,且与无关；(ii)若A的特征值中有一个具有正实部,则系统在平衡点是不稳定的；(iii)若A的特征值中有一个实部为零,则系统在平衡点的稳定性与有关.例5.3设非线性系统为第2
4、9页共29页试判平衡点的稳定性.解由处的雅可比矩阵为,得à在处不稳定.(2)李雅普诺夫第二法(虚构”能量”函数)若系统能量随时而衰,则稳定.第29页共29页如àà这是一个在处稳定的系统.作一个”能量”函数,(正定)则(势能,动能)第29页共29页à单调递减趋于0(因)这样的就称为李雅普诺夫函数.对一般系统,设法构造如此标量函数.下面给出一般标量函数的正定、负定等概念.设标量函数且.若对任意,有第29页共29页(i),则称是正定的(半正定的)；(ii),则称是负定的(半负定的)；(iii)有、也有,则称是不
5、定的.根据系统方程,常取为的二次型函数,即.P是实对称矩阵,此时的正、负定性与P一致.而P的正定性由其主子行列式为正负来判定如是半负定的；第29页共29页是半正定的.下面介绍主要结果.定理5.8设系统为.(5.15)是其平衡点.若存在标量函数(具有连续的一阶偏导数),满足(i)是正定的；(ii)沿着方程(5.15)计算的是半负定的.第29页共29页则平衡点是稳定的.定理5.9设系统为(5.15),平衡点为.若有标量函数(具有连续的一阶偏导),满足(i)是正定的；(ii)沿着方程(5.15)计算的是负定的；
6、或者(ii’)沿着方程(5.15)计算的是半负定的,且对来说,不恒为零,则平衡点是渐近稳定的.第29页共29页进一步,若当时,有,则平衡点是全局渐近稳定的.注对(ii’)的说明.由于为半负定,所以在时,或许有,可能会出现下图5.5的两种情形：第29页共29页定理5.10系统方程、平衡点同定理5.9中假设相同.若标量函数(具有连续的一阶偏导).满足(i)是正定的；(ii)沿着状态方程(5.15)计算的也是正定的；第29页共29页则平衡点是不稳定的.注上述定理条件是充分的.例5.4设非线性系统为.试分析稳定性
7、.解由,得是其唯一的平衡点.第29页共29页构造.是正定的.对关于t求导,得.代入状态方程得à负定à为一李雅普诺夫函数,且当时,有第29页共29页à为全局渐近稳定(而且是一致的).对线性定常系统,有定理5.11设线性定常系统为,则平衡点是渐近稳定的ßà对任意正定阵,矩阵方程(李雅普诺夫方程)(5.16)有唯一正定阵解P.第29页共29页由于必要性证明涉及过多知识,故只证充分性.证(充分性)由,满足(5.16),作.对求导且将系统方程代入,得.à负定,且当时,有,à平衡点为全局渐近稳定(且一致).第29页共
8、29页(注:实用中,渐近稳定为主要特性)例5.5设系统为.试分析的稳定性.解设.代入矩阵方程(5.16)式,得第29页共29页.展开并令对应元素相等,得唯一解.它的各主子式行列式.à正定à是渐近稳定.且第29页共29页系统是线性定常的à所有平衡点是一致全局渐近稳定.注(1)正定阵Q的选择尽可能简单.(2)若对某,矩阵方程(5.16)无解,则平衡点不是渐近稳定的.(3)可以证明:对线性定常系统,若平衡点是渐近稳定的,则系统必为B
