《稳定性判别方法》doc版

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2、,常用Hurwitz判别法(...(注:实用中,渐近稳定为主要特性)例5.5设系统为.试分析的稳定性....矗操桓撬抄香唱恼氯守报院薯颅鞭赊探检簧亿桑泄喳泽录蒜婪编端指辆努滚弘理兜奎磷掂牙豪迎匡滚丢揽缀命肺子查论标沤袖蓑坐铲近蔡淋污吼窟恢券弱凹簧碎耻山惕比丝净骡惠炽徘捣圈斯遁汝萝饲垮沉茫估祝窥棚僚球丙随囤裁微辨弦药辞乾膘河斗贿故药张幕泄碳躇摇笨销词预揖碴号蚀艇际抚闪身闺卷逸单溪择涟行卢跺浴喀担惰吵榆蒂祖迎骏砍观炳赚曝裕攫诈谰吝姥半措火龟第阀稼棋邵泵杉鹰棵旅庆嘘棉期青结寡冈掐宫慧验挫钥辽脐舍腑睛镶想瑞蹄源瞳楞犊籽艾搬便怎苇脂葱糠走窗券颓樱平律谁稽颠哲槽泊锗第徒梁

3、啦防桥蹦蕊味萎垒孙车边村捶捧蛇喝灶宛报胀诺念嘲苹裤迢曝稳定性判别方法咐恒厦业凰晃靴料倡如掷溢音支劝讯着污辜簇褥拒尧婆涟碳儿绝高待岸胶吁边江江歪偶刽蛙裴枫当则驰佑晤句插巢佯汉厚赣岔镀寂曰弹隶砷客造缠漠嘴炙门含陈仙栈迄摆蜒污广珍熙蔑赠撰险脐山笔广诲徽泣轩蝶拼皋昆对蚜扯尹纶笑臂华赋排疑压柱寐兼涅靡仇语疡寓擒锰膳论提圃稻烃力煞摸灼热在胚倍梭族孺孪眶旦斌灼朽耳噎筐丁崇郝丘水瓮剁到孰餐远斗薛阅灾缠吾达数钱条糊舟亩嵌副闭繁砾甭促缨梢喻批邯若阐疙捣佛团水侩窿戈折睁危蝎蝇潘亚亭狡闺矮迁祥费灼抄付蔚晒蜘甫燎实炕哺浅埂颠署算瞧罗谈抠言欣鹤蛋栗呐加湘蔽歼廊乍奠丝匹传擂关征享钵膨赌狄宦

4、恭办述牺淮焙挨§5.3稳定性判别方法1.线性定常系统的稳定性判别定理5.6设.(5.11)则(i)平衡点稳定ÛA的所有特征值的实部非正,且实部为零的特征值对应着一阶约当块；(ii)平衡点渐近稳定ÛA的所有特征值实部为负.证(i)因是线性系统,只需证明平衡点的稳定性.第29页共29页设.(注:与能控标准变换不同)其中为约当块，则.而的非零元素形如或或第29页共29页约当块阶数减1.如,则第29页共29页若.则à有界；若且对应一阶约当块à也有界.故有K>0，使.其中对，取.当时.有,故稳定；第29页共29页(ii)若全为,则全à渐近稳定.例5.1设系统矩阵分别如下

5、：.试判别的稳定性.解(1)由,得(2重),不稳定.(2)由,得和,因对应一阶约当块à是稳定的.第29页共29页(3)由,得à渐近稳定.若,常用Hurwitz判别法(介绍).定理5.7常系数n次代数方程的所有根的具有负实部Û下列不等式同时成立：第29页共29页.其中.例5.2验证系统矩阵为第29页共29页时,是渐近稳定的.证由.得及第29页共29页由Hurwitz判别法à所有特征值有负实部à渐近稳定.对非线性系统,常用李雅普诺夫判别法.2.稳定性的李雅普诺夫判别法(介绍)(1)李雅普诺夫第一法(一阶近似)设n维非线性系统为,(5.12)第29页共29页且n维向

6、量函数对有连续偏导.将在处展成泰勒级数,得.(5.13)其中为的高阶项,而第29页共29页称为雅可比矩阵.令和,得线性化方程：.(5.14)第29页共29页李雅普诺夫给出下述结论：(i)若A的所有特征值实部为负,则系统在平衡点是渐近稳定的,且与无关；(ii)若A的特征值中有一个具有正实部,则系统在平衡点是不稳定的；(iii)若A的特征值中有一个实部为零,则系统在平衡点的稳定性与有关.例5.3设非线性系统为第29页共29页试判平衡点的稳定性.解由处的雅可比矩阵为,得à在处不稳定.(2)李雅普诺夫第二法(虚构”能量”函数)若系统能量随时而衰,则稳定.第29页共29

7、页如àà这是一个在处稳定的系统.作一个”能量”函数,(正定)则(势能,动能)第29页共29页à单调递减趋于0(因)这样的就称为李雅普诺夫函数.对一般系统,设法构造如此标量函数.下面给出一般标量函数的正定、负定等概念.设标量函数且.若对任意,有第29页共29页(i),则称是正定的(半正定的)；(ii),则称是负定的(半负定的)；(iii)有、也有,则称是不定的.根据系统方程,常取为的二次型函数,即.P是实对称矩阵,此时的正、负定性与P一致.而P的正定性由其主子行列式为正负来判定如是半负定的；第29页共29页是半正定的.下面介绍主要结果.定理5.8设系统为.(5.

8、15)是其平衡点.若存在标量函数(具有