交大数理逻辑课件11-1函数

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1、第11章函数11.1函数和选择公理11.2函数的合成和函数的逆11.3函数的性质定义设f：X→Y,(1)若ran(f)=Y,则称f是满射.(2)若x1,x2∈X,x1≠x2,都有f(x1)≠f(x2),都称f是单射.(3)若f既是满射又是单射的,则称f是双射.x1x2x3y1y2XY满射函数的分类

2、X

3、≥

4、Y

5、x1x2x3y1y2Yy3Xy4单射f(x1)=f(x2)x1=x2x1x2x3y1y2Yy3X双射

6、X

7、=

8、Y

9、判断下面函数是否为单射,满射,双射f：R→R,f(x)=x2+2x1在x=1取得极大值0.既不单射也不满射。f：Z+→R,f(x)=lnx单调

10、上升,是单射.但不满射,ranf={ln1,ln2,…}.f：R→Z,f(x)=x满射,但不是单射,例如f(1.5)=f(1.2)=1.f：R→R,f(x)=2x+1满射、单射、双射,因为它是单调的并且ranf=R.f：R+→R+,f(x)=(x2+1)/x有极小值f(1)=2.该函数既不单射也不满射.构造从A到B的双射函数一、有穷集之间的构造例A=P({1,2,3}),B={0,1}{1,2,3}解：A={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.B={f0,f1,…,f7},其中f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>}

11、,f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>},f2={<1,0>,<2,1>,<3,0>},f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>},f4={<1,1>,<2,0>,<3,0>},f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>},f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>},f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}.令f：A→B,f()=f0,f({1})=f1,f({2})=f2,f({3})=f3,f({1,2})=f4,f({1,3})=f5,f({2,3})=f6,f({1,2,3})=f7二、实数区间之间构造双射构造方法：直线方程例A=[0,1]B=[

12、1/4,1/2]构造双射f:A→B构造从A到B的双射函数（续）解1：令f：[0,1]→[1/4,1/2]f(x)=(x+1)/4解2：令f：[1,0]→[1/4,1/2]f(x)=-x/4+1/2=-(x-2)/4构造从A到B的双射函数（续）三、A与自然数集合之间构造双射方法：将A中元素排成有序图形，然后从第一个元素开始按照次序与自然数对应例A=Z,B=N，构造双射f：A→B将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应：Z：0112233…↓↓↓↓↓↓↓N：0123456…则这种对应所表示的函数是：构造从A到B的双射函数（续）三、A与自然数集合之间构造双射例：A=N×

13、N，B=N，构造双射f：A→B将A中元素以下列顺序排列并与N中元素对应：<0,0><1,0><2,0><3,0>……<0,1><1,1><2,1><3,1>……<0,2><1,2><2,2>……<0,3><1,3>……<0,4>……则对应所表示的函数是：11.1.3常用的函数1.设f：A→B,若存在c∈B使得x∈A都有f(x)=c,则称f：A→B是常函数.2.称A上的恒等关系IA为A上的恒等函数,对所有的x∈A都有IA(x)=x.3.设f：R→R，如果对任意的x1,x2∈R，x1x2,就有f(x1)f(x2),则称f为单调递增的；如果对任意的x1,x2∈

14、A,x1,<2,1>}∪IA则有：

15、g(1)={1,2},g(2)={1,2},g(3)={3}11.2函数的合成与函数的逆函数的合成设g：A→Bf：B→C，则(1)f∘g是函数f∘g：A→C(2)对xA，有(f∘g)(x)=f(g(x))说明：函数合成后还是函数。只有当两个函数中一个的定义域与另一个函数的值域相同时，它们的合成才有意义。且dom(g)=dom(f∘g)实例：设g:RR,f:R+R,g(x)=x+1,f(x)=lnx，则g∘f(x)=g(f(x))=g(lnx)=lnx+1f∘g(x)=f(g(x))=f(x+1)=ln(x+1)一般地，g∘f≠f∘