有限单元法原理与应用

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1、有限单元法原理与应用——平面问题2.1连续介质的离散化连续介质的离散连续介质的有限单元分析包含三个基本方面：介质的离散化、单元特性计算以及单元组合体的结构分析。对于二维连续介质，以图所示的建筑在岩石基础上的支墩坝为例，用有限单元法进行分析的步骤如下：(1)用虚拟的直线把原介质分割成有限个三角形单元，这些直线是单元的边界，几条直线的交点称为结点。(2)假定各单元在结点上互相铰接，结点位移是基本的未知量。(3)选择位移函数。(4)通过位移函数，用结点位移唯一地表示单元内任一点的应变；再利用广义虎克定律，用结

2、点位移可唯一地表示单元内任一点的应力。(5)利用能量原理，找到与单元内部应力状态等效的结点力，再利用单元应力与结点位移的关系，建立等效结点力与结点位移的关系。(6)将每一单元所承受的荷载，按静力等效原则移置到结点上。(7)在每一结点建立用结点位移表示的静力平衡方程，得到一个线性方程组：解出这个方程组，求出结点位移，然后可求得每个单元的应力。2.2位移函数每一结点具有两个位移分量：每个单元六个结点的位移分量可以表示为一个向量：假定单元内的位移分量是坐标的线性函数：因此可以得到:解得为了简化位移函数的表达式

3、，记：简单表达式：位移模式需满足以下三个条件：1。位移模式必须反映单元的刚体位移2。位移模式必须反映单元的常量应变3。位移模式应尽可能反映位移的连续性因此，单元位移：其中：2.3单元应变单元内的应变分量可用矩阵表示为：带入到位移函数其子矩阵：应变分量是常量2.4初应变初应变是指与应力无关，由温度变化、收缩、晶体生长等因素引起的应变，即对于平面应力问题，温度引起的初应变为其中：α为膨胀系数温度不引起剪切变形对于平面应变问题μ为泊松比对于层状各项异性材料：由于线膨胀系数可能随方向的变化而变化，设X’,Y’为

4、层状材料的主应力方向，设相应的膨胀系数为α1，α2，X’与X夹角为φ，则在平面应力问题的初应变为：经过变换，在（x，y）中，γxy0可能不为02.5平面应力1.各向同性体——平面应力有广义胡克定律：由以上可以解出：由矩阵表示为：）或[D]为弹性矩阵，它决定于E和μ应力矩阵2.各项同性体——平面应变再次得到其中：3.各向异性体设y轴垂直于层面，则有如下应力应变关系：记平面应力问题的弹性矩阵为：平面应变问题的弹性矩阵：当层面与x轴有一倾角时[D]必须进行变换。则在（x’,y’）中，在（x，y）中，整体坐标系

5、的弹性矩阵