电磁场与微波技术 第1章

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1、第1章矢量分析矢量代数1.1矢量场的散度1.2矢量场的旋度1.3标量场的梯度1.4亥姆霍兹定理1.5常用坐标系1.6如果在空间的一个区域中，每一点都有一个物理量的确定值与之对应，则在这个区域中就构成了该物理量的场。场的一个重要属性是它占有一个空间，它把物理量用空间和时间的数学函数来描述。标量场在数学上只用一个代数变量描述，只有大小，没有方向。矢量场不仅需要定出大小，而且需要定出方向。1.1矢量代数矢量既有大小，又有方向。矢量A可以表示为A=eAA，其中A表示矢量A的大小，eA表示矢量A的方向。A=exAx+eyAy+ezAz(1.1)由式

2、(1.1)可以看出，一个矢量场对应三个标量场。1.1.1矢量的加法和减法两个矢量相加，等于两个矢量相应的分量分别相加，它们的和还是一个矢量。如图1.1(b)所示。A+B=ex(Ax+Bx)+ey(Ay+By)+ez(Az+Bz)(1.4)两个矢量相减，等于两个矢量相应的分量分别相减，它们的差依旧是一个矢量。如图1.1(c)所示。A-B=A+(-B)=ex(Ax-Bx)+ey(Ay-By)+ez(Az-Bz)(1.5)图1.1矢量加减法1.1.2标量与矢量相乘标量k与矢量A相乘，结果是A的方向未变，大小改变了k倍，kA=eAkA=exkAx

3、+eykAy+ezkAz(1.6)1.1.3矢量的点积矢量A与矢量B的点积，写成A·B，它的结果是一个标量，其大小等于两个矢量的大小与它们夹角θ余弦的乘积，如图1.2所示，表示为A·B=ABcosθ(1.7a)A·B=AxBx+AyBy+AzBz(1.7b)图1.2点积的图示1.1.4矢量的叉积矢量A矢量B的叉积，写成A×B，它的结果是一个矢量，其大小等于两个矢量的大小与它们夹角θ正弦的乘积，其方向垂直于矢量A与矢量B组成的平面(符合右手螺旋法则)，如图1.3所示，表示为A×B=enABsinθ(1.8a)图1.3叉积的图示及右手螺旋ex

4、eyezA×B=AxAyAz(1.8c)BxByAz例1.1已知A=ex3+ey4+ez2,B=ex2+ey4+ez7,求:（1）A·B;(2)A与B的夹角;(3)A×B。解（1）A·B=AxBx+AyBy+AzBz=3×2+4+4+2×7=36(2)A·B36cosθ==≈0.80AB32+42+2222+42+72(3)exeyezA×B=AxAyAzBxByAz=ex(4×7－2×4)+ey(2×2－3×7)+ez(3×4－4×2)=ex20－ey17+ez41.2矢量场的散度1.2.1矢量场的矢量线矢量场A可以用画图的方式描述，称

5、为矢量场的矢量线（也叫做力线、流线、通量线等）图。矢量线图上每一点处的切线应当是该点矢量场的方向，如图1.4（a）所示。图1.4矢量场的矢量线图1.2.2矢量场的通量面元矢量dS定义为dS=endS(1.12)图1.5矢量的通量图1.2.3矢量场的散度散度的定义设有矢量场A，在场中任一点P处做一个包含该点的闭合面S，设闭合面S所包围的体积为Δτ。当体积Δτ以任意方式缩向点P时，每单位体积由闭合面S向外穿出的净通量为矢量场A在该点的散度，即SA·dSdivA=lim(1.16)Δ0Δ∮ττ于是得到A的散度在直角坐标系中的计算公式为n的取向有

6、两种情形：一种是面元dS为开表面，这个开表面由一条闭合曲线C围成，选择C的环行方向后，按右手螺旋法则，螺旋前进的方向为en的方向；另一种是面元dS为闭合面上的一个面元，则en取闭合面的外法线方向。通量=∫S

7、A

8、cosθdS=∫SA·dS(1.13)在直角坐标系中，∫S·dS=∫S(exAx+eyAy+ezAz)·(exdSx+eydSy+ezdSz)=∫S(AxdSx+AydSy+AzdSz)散度的定义：设有矢量场A，在场中任一点P处作一个包含该点的闭合面S，设闭合面S所包围的体积为。当体积以任意方式缩向点P时，每单位体积由闭合面S向外

9、穿出的净通量为矢量场A在该点的散度，即1.2.3矢量场的散度(1.16)于是得到A的散度在直角坐标系中的计算公式为(1.17)为了方便，我们引入一个矢量微分算子，称为哈密顿算子，它在直角坐标系表示为(1.18)(1.19)例１.２　已知矢量场求：（1）（2）计算通量　　　　　。积分区域为闭合面Ｓ，Ｓ为一个球心在原点、半径为的球面。解（1）（2）的方向与　　的方向相同，所以有：1.2.4散度定理散度定理也称高斯散度定理，表示为(1.20)式中积分区域为闭合面S所包围的体积，并假设A及其一阶导数连续。例1.3已知现有一个边长为1的单位立方体，

10、它的一个顶点在原点，如图1.7所示。图1.7例1.3图求：（1）矢量场的散度；（2）计算通量，积分区域为如图所示的单位立方体；（3）验证高斯散度定理。解（1）（2）A从单位立方体内穿出的通量为