清华大学微积分课件22常微分方程(二)new

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1、作业P236习题8.29.11.13.25.26.28.35.39.41.47.7/19/20211第二十二讲常微分方程（二）一、一阶线性方程三、可利用微分形式求解的方程二、伯努利(Bernoulli)方程四、积分因子7/19/20212一、一阶线性微分方程7/19/20213性质1：性质2：性质3：7/19/20214性质4：性质5：7/19/20215(1)如何解齐次方程？非齐次齐次可分离型！标准形式：什麽类型？一阶线性微分方程7/19/20216分离变量是p(x)一个原函数不是不定积分！齐次通解解得注意：齐次通解的结构：7/19/2021

2、7(2)用常数变异法解非齐次方程假定(1)的解具有形式将这个解代入(1),经计算得到7/19/20218化简得到即7/19/20219积分从而得到非齐次方程(1)的通解非齐次通解或7/19/202110非齐次通解的结构：特解非齐次特解7/19/2021117/19/202112这是线性方程吗？是关于函数x=x(y)的一阶线性方程！[解]变形为：第一步:先求解齐次方程齐次方程通解是7/19/202113第二步:用常数变异法解非齐次方程假设非齐次方程的解为代入方程并计算化简积分得通解7/19/202114[证]7/19/2021157/19/202

3、116Bernoulli方程二、伯努利(Bernoulli)方程7/19/202117Bernoulli方程线性方程7/19/202118[解]7/19/202119解线性方程相应的齐次方程(2)的通解设(1)的解为代入(1),计算化简得到7/19/2021207/19/202121三、可利用微分形式求解的方程利用熟悉的微分公式，通过凑微分的方法将微分方程变为某些函数的微分形式.例如7/19/2021227/19/202123[解]通解凑微分7/19/202124通解为[解]改写为7/19/202125通解为[解]7/19/202126问:能否

4、直接通过凑微分求解？不能问:能否变为可通过凑微分求解的方程？试试看7/19/202127(六)积分因子7/19/202128通解积分因子可能会丢解！[][解]7/19/202129[解]通解7/19/202130小结1.解、通解、特解、定解问题2.一阶微分方程可积类型可分离型、一阶线性、利用微分形式、思想：方程变形——变量代换可化为可分离、伯努利方程、积分因子7/19/202131