§5.4 复频域分析

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1、§5.4复频域分析一、微分方程的变换解二、系统函数四、用拉氏变换法分析电路三、系统的s域框图一、微分方程的变换解描述n阶系统的微分方程的一般形式为系统的初始状态为y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)。思路：用拉普拉斯变换微分特性若f(t)在t=0时接入系统，则f(j)(t)←→sjF(s)y(t)，yzi(t)，yzs(t)s域的代数方程举例例1描述某LTI系统的微分方程为y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f(t)已知初始状态y(0-)=1，y'(0-)=-1，激励f(t)=5cost(t)，求系统的全

2、响应y(t)解：方程取拉氏变换，并整理得Yzi(s)Yzs(s)y(t)=2e–2t(t)–e–3t(t)-4e–2t(t)+yzi(t)yzs(t)暂态分量yt(t)稳态分量ys(t)若已知y(0+)=1，y‘(0+)=9，？例2零输入条件零状态条件yzi(i)(0+)=yzi(i)(0-)=y(i)zi(0-)y(i)zs(0-)=0对于y(i)(0+)=yzi(i)(0＋)＋y(i)zs(0+)y(i)(0+)=y(i)(0-)＋y(i)zs(0+)y(i)(0-)=y(i)(0+)-y(i)zs(0+)得出解析首先考虑如何求y(

3、0-)，y’(0-)例1描述某LTI系统的微分方程为y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f(t)已知初始状态y(0+)=1，y’(0+)=9,激励f(t)=5cost(t)，求系统的全响应y(t)yzs(0+)=0y’zs(0+)=10y(0－)=1y’(0－)=-1求y(t)方法同上二、系统函数系统函数H(s)定义为它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。yzs(t)=h(t)*f(t)H(s)=L[h(t)]Yzs(s)=H(s)F(s)例2已知当输入f(t)=e-t(t)时，某LTI因果系统的零状态

4、响应yzs(t)=(3e-t-4e-2t+e-3t)(t)求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。解h(t)=(4e-2t-2e-3t)(t)微分方程为y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+8f(t)s2Yzs(s)+5sYzs(s)+6Yzs(s)=2sF(s)+8F(s)取逆变换yzs"(t)+5yzs'(t)+6yzs(t)=2f'(t)+8f(t)三、系统的s域框图时域框图基本单元∫f(t)af(t)y(t)=af(t)s域框图基本单元(零状态)s–1F(s)Y(s)=s–1F(s)aF(s)Y(s)=aF(s)∑

5、f1(t)f2(t)y(t)=f1(t)+f2(t)++∑F1(s)Y(s)=F1(s)+F2(s)F2(s)++例3如图框图，列出其微分方程X(s)s-1X(s)s-2X(s)解画出s域框图,s-1s-1F(s)Y(s)设左边加法器输出为X(s)，如图X(s)=F(s)–3s-1X(s)–2s-2X(s)s域的代数方程Y(s)=X(s)+4s-2X(s)微分方程为y"(t)+3y'(t)+2y(t)=f"(t)+4f(t)再求h(t)?四、用拉氏变换法分析电路列s域方程（可从两方面入手）求解s域方程。，得到时域解答。列时域微分方程，用微积分

6、性质求拉氏变换；直接按电路的s域模型建立代数方程。什么是电路的s域模型？五、电路的s域模型对时域电路取拉氏变换1、电阻元件的s域模型U(s)=RI(s)u(t)=Ri(t)电阻元件的s域模型2、电感元件的s域模型U(s)=sLIL(s)–LiL(0-)电感元件的s域模型3、电容元件的s域模型I(s)=sCUC(s)–CuC(0-)电容元件的s域模型4、KCL、KVL方程求响应的步骤画0-等效电路，求初始状态；画s域等效模型；列s域方程（代数方程）；解s域方程，求出响应的拉氏变换U(s)或I(s)；拉氏反变换求u(t)或i(t)。例1(1)(2

7、)(3)列方程解：如图电路，初始状态为0，t=0时开关S闭合，求电流i(t)。故例2如图所示电路，已知uS(t)=(t)V，iS(t)=δ(t)，起始状态uC(0-)=1V，iL(0-)=2A，求电压u(t)。解画出电路的s域模型Us(s)=1/s，Is(s)=1u(t)=e–t(t)–3te–t(t)V若求uzi(t)和uzs(t)