第四章 曲线和曲面

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1、第四章曲线和曲面第一节曲线和曲面表示的基础知识第二节Hermite多项式第三节Coons曲面第四节Bezier曲线和曲面第五节B样条曲线和曲面第一节曲线和曲面表示的基础知识曲线和曲面参数表示（1）与坐标轴相关的，不便于进行坐标变换；（2）会出现斜率为无穷大的情况；（3）难以灵活地构造复杂的曲线、曲面（4）非参数的显示方程只能描述平面曲线，空间曲线必须定义为两张柱面的交线。（5）假如我们使用非参数化函数，在某个xoy坐标系里一条曲线，一些x值对应多个y值，而一些y值对应多个x值。在空间曲线的参数表示中，

2、曲线上每一点的坐标均要表示成某个参数t的一个函数式，则曲线上每一点笛卡尔坐标参数式是：，，把三个方程合写到一起，曲线上一点坐标的矢量表示是：关于参数t的切矢量或导函数是：曲面写为参数方程形式为:曲线或曲面的某一部分，可以简单地用a≤t≤b界定它的范围直线段端点坐标分别是P1[x1,y1],P2[x2,y2]，直线段的参数表达式是：P(t)=P1+(P2-P1)t=(1-t)P1+tP20≤t≤1；参数表示相应的x,y坐标分量是：x(t)=x1+(x2-x1)ty(t)=y1+(y2-y1)t0≤t≤1

3、参数方程具有如下优点。(1)对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换（如平移、比例、旋转）。(2)便于处理斜率为无限大的问题。(3)有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。具有很强的描述能力和丰富的表达能力。(4)参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中的曲线、曲面扩展到高维空间去。(5)规格化的参数变量t∈[0,1],使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义其边界。便于曲线和曲面的分段、分片描述。易于实现光顺连接。(6)易

4、于用矢量和矩阵表示几何分量，计算处理简便易行。曲线和曲面可以分为两类。一类要求通过事先给定的离散的点，称为是插值的曲线或曲面。另一类不要求通过事先给定的各离散点，而只是用给定各离散点形成的控制多边形来控制形状，称为是逼近的曲线或曲面。基本概念插值要求构造一条曲线顺序通过型值点，称为对这些型值点进行插值（interpolation）。逼近构造一条曲线，使它在某种意义上最佳逼近这些型值点，称之为对这些型值点进行逼近（approximation）。参数连续性一函数在某一点x0处具有相等的直到k阶的左右导数，

5、称它在x0处是k次连续可微的，或称它在x0处是k阶连续的，记作Ck。几何上C0、C1、C2依次表示该函数的图形、切线方向、曲率是连续的。几何连续性两曲线段的相应的弧长参数化在公共连接点处具有Ck连续性，则称它们在该点处具有k阶几何连续性，记作Gk。零阶几何连续G0与零阶参数连续C0是一致的。一阶几何连续G1指一阶导数在两个相邻曲线段的交点处成比例，即方向相同，大小不同。二阶几何连续G2指两个曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。光顺光顺（smoothness）是指曲线的拐点不能太多，要光滑顺畅。对于

6、平面曲线相对光顺的条件应该是：（1）具有二阶几何连续（G2）；（2）不存在多余拐点和奇异点；（3）曲率变化较小。拉格朗日n阶多项式：令P0(x0,y0),…,Pn(xn,yn)表示n+1个数据点，t0,t1,t2为任意数字，其拉格朗日n阶多项式如下：对任意ji,有Li(xi)=1且Lj(xj)=0拉格朗日插值：令P0(x0,y0),…,Pn(xn,yn)表示n+1个数据点，希望找出通过这些点的曲线。这里：Li(xi)是拉格朗日多项式，L(x)是插值各数据点的第n阶拉格朗日多项式第二节Hermite多项

7、式已知函数f(t)在k+1个点{ti}处的函数值和导数值{f(j)(ti)}，i=0,1,…,k，j=0,1,…,mi-1，要求确定一个N=m0+m1+…+mk-1次的多项式P(t)，满足下面的插值条件：考查k=1，m0=m1=2的情形。已知表示一条曲线的某个函数f(t)在两点t0，t1的函数值f(t0),f(t1)和一阶导数值f’(t0),f’(t1)，求三次多项式P(t):把a0，a1，a2和a3代入则有：经整理，所求多项式P0(t)可以写出如下：式中选取两个端点及其及其切向量作为曲线构造条件混合

8、函数如下：设表示一条曲线的某个函数f(t)在四点t0，t1，t2，t3的函数值f(t0),f(t1),f(t2),f(t3)，根据Lagrange插值法，则三次多项式P(t)可表示为：选择四个不同的点作为构造曲线的条件混合函数如下：经验证可知：为了使P0(t)的定义区间t0≤t≤t1变为区间0≤u≤1，可以做如下变换解出，代入混合函数式中，得：将关于u的混合函数代入，所求的三次多项式成为：令得对一般的Hermite插值问题，一般来说得到的插值多项式次数较