数学建模---最佳预定票策略(案例分析)

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1、1、假定在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量（单位吨），它服从〔2000，4000〕的均匀分布。设售出这种商品1吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而屯积于仓库，则每吨需保养费1万元。问题是要确定应组织多少货源，才能使国家的收益最大。解若以y为组织某年出口的此种商品量（显然可以只考虑的情况），则收益（单位万元）为因为的概率密度为于是收益的期望值为此式当是达到最大，因此组织3500吨此种商品为最好的策略。2、最佳预订票策略一、问题的提出在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质

2、服务项目是预订票业务。公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。当然也可以订票时只订座，登机时才付款，这两种办法对于下面的讨论是等价的。设某种型号的飞机容量为n，若公司限制预定n张机票，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本，如果不限制订票数量呢那么当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时，必然会引起那些不能登机飞走的乘客（以下称被挤掉者）的抱怨,公司不管以什么方式予以补救，也会导致受损和一定的经济损失，如客员减少，挤掉

3、以后班机乘客，公司无偿供应食宿，付给一定的赔偿金等。这样，综合考虑公司经济利益，必然存在一个恰当订票数量和限额。假设飞机容量为300，乘客准时到达机场而未乘上飞机赔偿费是机票价格的10%，飞行费用与飞机容量、机票价格成正比（由统计资料知，比例系数为0.6，乘客不按时前来登机的概率为0.03），请你:1）建立一个数学模型，给出衡量公司经济利益和社会声誉的指标，对上述预定票业务确定最佳的预定票数量。2）考虑不同客源的不同需要，如商人喜欢上述这种无约束的预定票业务，他们宁愿接受较高的票价，而按时上下班的雇员或游客，会愿

4、意以若不能按时前来登机则机票失效为代价，换取较低额的票价。公司为降低风险，可以把后者作为基本客源。根据这种实际情况，制定更好的预订票策略。二、模型的假设及符号说明（1）模型的假设①假设预订票的乘客是否按时前来登机是随机的。②假设已预订票的乘客不能前来登机的乘客数是一个随机变量。③假设飞机的飞行费用与乘客的多少无关。（2）符号说明n：飞机的座位数，即飞机的容量；g：机票的价格；f：飞行的费用；b：乘客准时到达机场而未乘上飞机的赔偿费；m：售出的机票数；k：已预订票的乘客不能前来登机的乘客数，即迟到的乘客数，它

5、是一个随机变量；pk：已预订票的m个乘客中有k个乘客不能按时前来登机的概率；p：每位乘客迟到的概率；Pj（m）：已预订票前来登机的乘客中至少挤掉j人的概率，即社会声誉指标；S：公司的利润；ES：公司的平均利润。三、问题的分析及数学模型（1）问题的分析通过上面引进的符号易知，赔偿费b=0.1g，飞行费用f=0.6ng，每位乘客迟到的概率p=0.03，已预订票的m个乘客中，恰有k个乘客不能按时前来登机，即迟到的乘客数k服从二项分布B（m，p），此时，当m-k≤n时，说明m-k个乘客全部登机，此时利润S=（m-k

6、）g-f当m-k>n时，说明有n个乘客登机，有m-k-n个乘客没有登上飞机，即被挤掉了，此时利润S=ng–f-(m–k-n)b根据以上的分析，利润S可表示为：迟到的乘客数k=0,1,2,…,m-n-1时，说明有m-k-n个乘客被挤掉；(因为迟到的乘客数不算在剂掉者人数中）迟到的乘客数k=m-n，m-n+1，…，m时，说明已来的m-k个乘客全部登机了。于是平均利润因为所以由于k~B（m，p），，随机变量k的数学期望E（k）=mp，此时，（2）数学模型通过以上对问题的分析，可以在一定的

7、社会声誉指标Pj（m）范围内，寻求合适的m，根据f=0.6Ng的关系，使得目标函数ES/f达到最大，即（1）下面考虑社会声誉指标。由于m=n+k+j，所以k=m-n-j，即当被挤掉的乘客数为j时，等价的说法是恰有m-n-j个迟到的乘客。公司希望被挤掉的乘客人数不要太多，被挤掉的概率不要太大，可用至少挤掉j人的概率作为声誉指标，相应地k的取值范围为k=0,1,2,…,m-n-j，社会声誉指标（2）3.4.4模型求解为了对模型（1）进行求解，可以分别给定m，比如m=305,306,…,350，计算ES/f，同时，给定

8、j，比如取j=5，计算社会声誉指标Pj（m），从中选取使ES/f最大，且社会声誉指标Pj（m）小于等于某个α（比如取α=0.05）的最佳订票数m。下面给出MATLAB计算程序。%飞机最佳订票策略ch34%文件名：ch34.m%m表示售出的票数；Es表示平均利润；p表示声誉指标；form=305:325sm=0;p=0;fork=0:m-305pp=(prod