数值分析课件第三章线性代数方程组的直接解法

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1、§3.5向量范数与矩阵范数一、向量范数（/*VectorNorm*/）设是的一个映射，若对存在唯一实数与之对应，且满足正定性：齐次性：三角不等性：且则称为中向量的范数。非负实值函数称为赋范线性空间可以推广到常用的几种向量范数：设1-范数：2-范数：-范数：上述3种向量范数统称为P-范数(或者Holder范数)设由夹逼定理两个重要不等式闵可夫斯基(Minkowski)不等式：柯西-许瓦滋(Cauchy-Schwartz)不等式：或者例1：设是n阶实对称正定矩阵，则是中的一种向量范数。证明：只需验证范

2、数的3个条件成立即可。非负性：齐次性：三角不等性：存在非奇异下三角阵例2：证明是线性空间上的一种范数。证明：只需验证范数的3个条件成立即可。非负性：齐次性：三角不等性：闵可夫斯基(Minkowski)不等式：向量范数的性质：性质1性质2是的n元连续函数.设和是上定义的两种范数，如果存在正数满足则称和是上等价的向量范数。（等价性/*EquivalenceProperty*/）性质3例如性质4向量范数的等价性具有传递性。性质5的所有向量范数是彼此等价的。（向量序列的范数极限）即向量序列的范数收敛等价于向量分

3、量收敛性质6设,则的充要条件是二、矩阵范数（/*MatrixNorm*/）正定性：齐次性：三角不等性：且则称为中矩阵的范数。赋范线性空间可以推广到相容性:设是的一个映射，若对存在唯一实数与之对应，且满足是一种矩阵范数。例3：设，证明：证明：只需验证范数的4个条件成立即可。上述范数可以看成是维向量的2-范数，故只需验证记Frobenius范数简称F-范数其中称之为矩阵的迹是的特征值设是上的范数，是上的范数如果对满足则称上述矩阵范数与向量范数相容。相容性（/*Compatibility*/）证明：设显然它是一种

4、向量范数。令设是中的任意一种矩阵范数，则在中至少存在一种向量范数，使得和是相容的。性质记由得而从属性（/*Subordination*/）设矩阵范数与向量范数相容，且对每一个都存在一个非零向量满足则称是从属于向量范数的矩阵范数。从属于向量范数的必要条件：证明：矩阵范数与向量范数的相容性：设是中的一种向量范数,若定义则是上的一种矩阵范数.非负性：设，则由知齐次性：三角不等性：相容性：矩阵范数的一般定义形式：上述一般定义形式中分别取从而得到常用的3种分别从属于它们的矩阵范数：列范数：记行范数：谱范数：其

5、中是的最大特征值谱半径谱范数：其中是的最大特征值证明：因为是半正定的对称阵,可设其特征值为其对应的正交规范特征向量为则对例4：给定矩阵求矩阵的1、2、范数。若是实对称矩阵，则矩阵的特征值为设,则对任意的正交矩阵和,有设是上的任意一种矩阵范数，则对有对至少存在一种从属的矩阵范数，满足可看成是维向量空间，由向量范数的性质3得设和是上定义的两种范数，则存在正数，满足（矩阵范数的等价性）设,则有收敛的充要条件是.设,则有当收敛时,有且存在从属矩阵范数满足可逆且设是上的一个满足条件的矩阵范数，并假设满足,则有推

6、论3.5.1设，如果存在，且有则可逆，且推论3.5.2