数值分析第一章1.1误差

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1、数值分析第一章误差数值分析是计算数学核心课程，它研究高等数学和线性代数中基本数学问题的数值解法，以及在求解过程中出现的收敛性、数值稳定性和误差估计等问题。§1误差数值解：满足一定精度的近似解。精度：我们用误差或近似数的有效数字刻划。一、误差的产生和分类实际问题验证结果编程求解选择算法收集数据建立模型模型误差观测误差截断误差舍入误差（2）观测误差：数学模型中一些物理量的观测值，如：电压、温度、长度等，不可避免会带来误差，称为观测误差。（1）模型误差：由实际问题转化为数学问题，在建立数学模型时，数学模型与实际问题之间出现的误差

2、称为模型误差。（3）截断误差：计算机在求解数学模型时选用数值计算方法，由此方法产生的误差称为截断误差。（4）舍入误差：由于计算机字长有限，只能对有限位进行运算，因而往往进行四舍五入，这样产生的误差称为舍入误差。误差是不可避免的，要做到与实际问题的绝对准确是办不到的。因此，我们主要研究怎样尽量设法减少截断误差和舍入误差，提高计算精度。例如在计算机上计算级数取前四项计算的近似值产生的误差即截断误差为：是物理量的一个近似值。二、绝对误差、相对误差与有效数字1、绝对误差与绝对误差限称为近似数的误差，为绝对误差，用表示，即。称为的绝

3、对误差限。实际问题中，由于物理量未知，因而无法计算绝对误差的大小，只能根据具体情况估计绝对误差的上限，即求使在工程技术中，将准确值,近似值绝对误差限,的关系表示成例如表示近似值绝对误差可以刻画近似值的准确程度。绝对误差限和绝对误差有关系若的近似值的绝对误差为则称比值为近似值的相对误差用表示,即当较小时，由于2、相对误差与相对误差限数的相对误差。如果存在,使差限，常用百分数表示。在实际计算中，由于往往不知道，因此将作为近似成立，则称正数为近似数的相对误例如的相对误差和相对误差限分别是和近似值比的准确度好得多。如果近似数的绝对

4、误差限是其准确数某位数的半个单位，且该位数字直到左边第一位非零数字共有位，则称近似值有位有效数字。则绝对误差限近似值具有三位有效数字。例如若3、有效数字一般地，对于非零近似数有如下规格化形式如果则称近似值有位有效数字。准确数有无限位有效数字。三、函数的误差估计数值运算中，由于所给数据的误差，必然影响到计算结果的准确性，这种影响较复杂，一般采用泰勒级数展开的方法来估计。设分别是的近似值，于是函数近似值的绝对误差作为函数的近似值，用时，在计算即(1)函数近似值的相对误差利用（1）、（2）两式，可以得到两数和、差、积、商的绝对误

5、差与相对误差传播的估计式（2）一、选择计算复杂性较好的算法时间复杂性：乘除法计算量多少。空间复杂性：算法所占计算机内存多少。§2数值计算中应该遵循的原则例1、计算解、算法一：算法二：二、选择算法数值稳定性较好的算法从误差传播规律和计算机字长的特点，在运算过程中舍入误差对结果影响不大的算法称为稳定的算法。研究算法的稳定，一种简便的方法是：假定初始值有误差,中间不产生新误差，考察由引起的误差积累是否增长，如不增长就认为是稳定的，如严重增长就认为不稳定。例2、建立积分的递推关系式，研究它的误差传递。解：由和可建立递推公式（1）设

6、计算时的舍入误差为因而实际计算的递推公式是：的近似值为,即（(2）误差是怎么传递的（1）-（2）得递推得到可以看出误差对第步的影响扩大了倍。当较大时，误差将淹没真值。用近似绝对误差是的倍。若由解出先求出，然后依次算出由，由第二积分中值定理:若函数在区间上不变号且可积，连续，则存在使有所以于是若取由此得到该方法对的舍入误差传递情况是递推可得所以误差传递逐步缩小，实际计算求得它是的具有8位有效数字的近似值。如果第步的误差与第步的误差满足则称计算公式是绝对稳定的。可以看出:可能比大得多。当与相近，就可能很大，从而导致计算结果的有

7、效数字位数的减少。三、避免两接近的近似数相减由两近似值差的相对误差关系式例3、试计算(准确值为0.000000033921915…)解、可见，计算结果不可靠。若用得到一个精度很高的近似值。四、避免“大数除以小数”由二元函数的误差传播规律式知可知，当相对小时，会很大。由于计算机采用浮点制，在数值运算中，如果数据的数量级相差很大，如不注意运算次序，就可能出现大数“吃掉”小数的现象。五、防止大数“吃掉”小数例4、求一元二次方程实根有两个互异实根如果用求根公式采用八位十进制在计算机上计算，,其中明显错误。表明与1两数相加，大数“吃

8、掉”了小数1。于是所得两根为求出，再利用韦达定理若利用求出，就可以保证一元二次方程两个根都是可靠的。例5试用八位十进制计算解、