推理规则与证明方法

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1、推理是由一个或几个判断得出另一个新的判断的思维形式(思维过程)。其中已知的判断——前提新的判断——结论列出前提H1,H2,…,Hm与结论C——论证逻辑的主要功能是提供推理的规则或论证的原理。从一组给定的前提出发，根据推理规则得到的结论称为有效结论，论证才是有效的。建立逻辑学的主要目的在于探索出这一套完整的规则，按照这些规则，就可以确定任何特定论证是否有效。1.5推理规则与证明方法设H1,H2,…,Hm(ｍ≥１)和Ｃ都是命题公式。若(H1∧H2∧…∧Hm)→Ｃ为永真式，即H1∧H2∧…∧HmＣ，称由前提H1,H

2、2,…,Hm推出结论C的推理正确(有效)。Ｃ称为前提H1,H2,…,Hm的有效结论或逻辑结果。H1∧H2∧…∧Hm→Ｃ称为由前提H1,H2,…,Hm推出结论C的推理的形式结构。一、推理的基本概念例1-5-11如果天下雨，小王就不去跑步。今天天下雨，所以小王没去跑步。解：设P：天下雨。Q：小王去跑步。前提：P→Q，P结论：Q推理的形式结构为：(P→Q)∧P→Q2如果我上街，我一定去新华书店。我没上街，所以我没去新华书店。解：设P：我上街。Q：我去新华书店。前提：P→Q，P结论：Q推理的形式结构为：(P

3、→Q)∧P→Q推理的符号化实例根据定义：由前提H1,H2,…,Hm推结论C的推理正确(有效)即：(H1∧H2∧…∧Hm)→Ｃ为永真式，即H1∧H2∧…∧HmＣ可知，判断推理是否正确的方法就是判断永真式或永真蕴含式的方法。基本方法有：1真值表法2等值演算法3主析取范式法4指派分析法(永真蕴含式)二、基于定义的推理例1-5-2判断下列推理是否正确：如果天下雨，小王就不去跑步。今天天下雨，所以小王没去跑步。解：设P：天下雨。Q：小王去跑步。前提：P→Q，P结论：Q推理的形式结构为：(P→Q)∧P→Q判断

4、((P→Q)∧P)→Q(*)是否为永真式或(P→Q)∧PQ是否成立。步骤：先将命题符号化然后写出前提、结论和推理的形式结构最后进行判断1真值表法真值表的最后一列全为1，因而(*)是永真式。所以推理正确。真值表技术：给定一个前提集合和一个结论，用构成真值表的方法，在有限步骤内判定给定前提是否能推导出该结论的这种方法，称为真值表技术。((P→Q)∧P)→Q((P∨Q)∧P)→Q((P∧Q)∨P)∨Q(P∨P∨Q)∧(Q∨P∨Q)T∧TT因而((P→Q)∧P)→Q(*)是

5、永真式，推理正确。2等值演算法((P→Q)∧P)→Q((P∨Q)∧P)→Q(P∧Q)∨P∨Q(P∧Q)∨(P∧(Q∨Q))∨((P∨P)∧Q)(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)∑(0,1,2,3)因而(*)是永真式，推理正确。3主析取范式法即要判断(P→Q)∧PQ证明：假设前件(P→Q)∧P为真，则P为真，且(P→Q)为真，所以Q为真。故(P→Q)∧PQ成立，推理正确。4

6、指派分析法(永真蕴含式)基于定义进行推理的不足：1如果命题公式的变元较多，以上四种方法都不方便。(n个变元，2n种指派)2与自然生活和传统数学中的推理形式无相同之处。3过于机械，对培养推理能力和推理技巧毫无帮助。形式证明：对由前提H1，H2，…，Hm推结论C的推理，构造一个描述推理过程的命题公式序列，其中每个命题公式或者是已知的前提，或者是由某些前提应用公认的推理规则所得到的结论，序列中最后一个命题公式是所要求的结论。这样的命题公式序列称为形式证明。形式证明的格式：形式证明是按行进行的，而且每行只能写一个命题公

7、式。一般为：标号部分命题公式说明部分三、基于规则的推理推理过程中使用的构造公式序列的规则：规则P（前提引入规则）：在推导的任何步骤上，都可以引入前提。规则T（结论引入规则）：在推导过程中，如果前面有一个或多个命题公式永真蕴含命题公式S，那么就可以把公式S引进推导过程中。代入规则：在推导的任何步骤上，永真式中的任一命题变元都可以用任一命题公式代入，代入后得到的仍是永真式。置换规则：在推导的任何步骤上，命题公式中的任何子公式都可以用与之等值的命题公式置换。常用的推理公式：在表1.2-2中列出的永真蕴含式。在表1.2

8、-1中列出的逻辑等价式。常用的推理规则1．直接证明法由已知的前提H1,H2,…,Hm出发，利用一些公认的推理规则，根据已知的逻辑等价式和永真蕴含式，推导出有效结论C。证明方法推理：H1∧H2∧…∧HmC2．间接证明法将已知的前提和结论进行适当的改造，转化为对新的前提和结论进行推理证明。常用的技巧有：附加前提证明法和反证法。例1-5-3检验下列推理的有效性。如果马会飞或羊吃草，则母鸡就