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1、有向无环图无环的有向图称为有向无环图，简称DAG图P179图7.21：有向树、DAG图、有向图DAG图可用于：描述含有公共子式的表达式；描述工程的进行过程；有向无环图是描述一项工程进行过程的有效工具，主要进行拓扑排序和关键路径的操作。工程能否顺利进行—拓扑排序完成整个工程所需的最短时间—关键路径活动网络(ActivityNetwork)计划、施工过程、生产流程、程序流程等都是“工程”。除了很小的工程外，一般都可以将工程分为若干个称作“活动”的子工程，完成了这些活动，整个工程就可以完成了。例：计算机专业学生的学习就是一个工
2、程，每一门课程的学习就是整个工程的一个活动，其中有些课程要求先修课程，有些则不要求，这样在有的课程之间就存在领先关系，而有的课程则可以并行学习。用顶点表示活动的网(AOV-网)C1高等数学C2程序设计基础C3离散数学C1,C2C4数据结构C3,C2C5高级语言程序设计C2C6编译原理C5,C4C7操作系统C4,C9C8大学物理C1C9计算机原理C8课程代号课程名称先修课程学生课程学习工程图C8C3C5C4C9C6C7C1C2可以用有向图表示一个工程。在这种有向图中，用顶点表示活动，用有向边表示活动Vi必须先
3、于活动Vj进行。这种有向图称作顶点表示活动的AOV网(ActivityOnVertex)。在AOV网络中不能出现有向回路,即有向环。如果出现了有向环，则意味着某项活动应以自己作为先决条件。因此，对给定的AOV网络，必须先判断它是否存在有向环。检测有向环的一种方法是对AOV网络构造它的拓扑有序序列。即将各个顶点(代表各个活动)排列成一个线性有序的序列，使得AOV网络中所有应存在的前驱和后继关系都能得到满足。这种构造AOV网络全部顶点的拓扑有序序列的运算就叫做拓扑排序。如果通过拓扑排序能将AOV网络的所有顶点都排入一个拓扑有
4、序的序列中,则该网络中必定不会出现有向环。如果AOV网络中存在有向环，此AOV网络所代表的工程是不可行的。例如,对学生课程学习工程图进行拓扑排序,得到的拓扑有序序列为C1,C2,C3,C4,C5,C6,C8,C9,C7或C1,C8,C9,C2,C5,C3,C4,C7,C6C8C3C5C4C9C6C7C1C2拓扑排序的方法①输入AOV网络，令n为顶点个数。②在AOV网络中选一个没有直接前驱的顶点,并输出之;③从图中删去该顶点,同时删去所有它发出的有向边;④重复以上②、③步,直到全部顶点均已输出，拓扑有序序列形成，拓扑排序完
5、成；或图中还有未输出的顶点,但已跳出处理循环。说明图中还剩下一些顶点,它们都有直接前驱。这时网络中必存在有向环。C0C1C2C3C4C5拓扑排序的过程(a)有向无环图C2C5C1C0C3(b)输出顶点C4C1C2C5C3(c)输出顶点C0C4C0C2C5C1C3(d)输出顶点C3C1C2C5(e)输出顶点C2C5C1(f)输出顶点C1C5(g)输出顶点C5最后得到的拓扑有序序列为C4,C0,C3,C2,C1,C5。它满足图中给出的所有前驱和后继关系，对于本来没有这种关系的顶点，如C4和C2，也排出了先后次序关系。(h)拓
6、扑排序完成AOV网络及其邻接表表示C0C1C2C3C4C5C0C1C2C30C4C50012345indegreedataadj1301031destlink3051500150在邻接表中增设一个数组indegree[]，记录各顶点入度。入度为零的顶点即无前驱顶点。在算法中,使用一个存放入度为零的顶点的栈,供选择和输出无前驱的顶点。拓扑排序算法可描述如下：建立入度为零的顶点栈;当入度为零的顶点栈不空时,重复执行从顶点栈中退出一个顶点,并输出之;从AOV网络中删去这个顶点和它发出的边,边的终顶点入度减一;如果边的终顶点入度
7、减至0,则该顶点进入度为零的顶点栈;如果输出顶点个数少于AOV网络的顶点个数,则报告网络中存在有向环。P182算法7.12用边表示活动的网络(AOE网)如果在带权的有向无环图中,用有向边表示一个工程中的活动(Activity),用边上权值表示活动持续时间(Duration),用顶点表示事件(Event),则这样的有向图叫做用边表示活动的网络,简称AOE(ActivityOnEdges)网。AOE网在某些工程进度估算方面非常有用。例如，可以使人们了解：完成整个工程至少需要多少时间(假设网络中没有环)?为缩短完成工程所需的时
8、间,应当加快哪些活动?从源点到各个顶点,以及从源点到汇点的有向路径可能不止一条，这些路径的长度也可能不同，完成不同路径的活动所需的时间虽然不同，但只有各条路径上所有活动都完成了,整个工程才能完成。因此,完成整个工程所需的时间取决于从源点到汇点的最长路径长度,即在这条路径上所有活动的持续时间之和。这条路径长度最长的路径
