方程求根 计算方法课件及实验 教学

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1、计算方法南昌航空大学信息工程学院第五章非线性方程的数值解法孙成立§5非线性方程的数值解法§5.0引言§5.1二分法§5.3牛顿(Newton)法§5.4迭代过程的加速方法§5.2迭代法方程是在科学研究中不可缺少的工具,方程求解是科学计算中一个重要的研究对象.几百年前就已经找到了代数方程中二次至四次方程的求解公式;但是,对于更高次数的代数方程目前仍无有效的精确解法;对于无规律的非代数方程的求解也无精确解法.因此,研究非线性方程的数值解法成为必然.本节主要研究单根区间上方程求根的各种近似算法.§5.1引言本章讨论非线性方程的求根问题，1.其中一类特殊的问题就是多项式

2、方程的求根。2.另一类就是超越方程的求根。方程的根又称为的零点,它使若,可表示为，其中为正整数，且。当时，称为单根，若称为的重根，或的重零点。若是的重零点且充分光滑，则基本概念求f(x)=0的根原理：若fC[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则f在(a,b)上必有一根。§5.1二分法yxbaf(x)x*称为方程的有根区间。给定有根区间[a,b](f(a)·f(b)<0)和精度或1.令x=(a+b)/22.如果b–a<或f(x)<,停机，输出x3.如果f(a)f(x)<0,则令b=x，否则令a=x,返回第1步用二分法求根，通常先给出f(x)草图以确定根

3、的大概位置。§5.1二分法—算法构造abx1x2abx*记a1=a,b1=b,第k步的有根区间为[ak,bk]对于给定的精度,可估计二分法所需的步数k：取简单易用无法求复根及偶重根对f(x)要求不高，只要连续即可收敛收敛速度慢§5.1二分法—误差分析例1:用二分法求方程在区间(1,2)内的实根,要求误差限为。§5.1二分法—例题分析解：令f(1)<0,f(2)>0记I0=[1,2],x0=(1+2)/2=1.5,f(x0)=-1.75因为f(x0)f(1)>0得I1=[1.5,2],x1=(1.5+2)/2=1.75f(x1)f(1.5)<0得I2=[1.5,

4、1.75],x2=(1.5+1.75)/2=1.625…….I6=[1.681875,1.6875],I7=[1.671875,1.679688]b7-a7=0.781310-2<10-2x*x7=1.6758例1:用二分法求方程在区间(1,2)内的实根,要求误差限为。§5.1二分法—例题分析例2：求在(1,1.5)的实根,要求误差不超过0.005。§5.1二分法—算法步骤例2：求在(1,1.5)的实根,要求误差不超过0.005。STEP0输入a,b,eps,delta,fa=f(a),fb=f(b)STEP1x=(a+b)/2,fx=f(x)STEP2判

5、断：

6、b-a

7、

8、fx

9、

10、不动点§5.2方程求根—不动点迭代法基本原理思路f(x)=0等价变换f(x)的根的不动点从一个初值x0出发，计算x1=(x0),x2=(x1),…,xk+1=(xk),…若收敛，即存在x*使得，且连续，则由可知x*=(x*)，即x*是的不动点，也就是f的根。§5.2方程求根—不动点迭代法基本原理迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方程、超越方程及方程组的一种基本方法，但存在收敛性及收敛快慢问题。将转化为的方法有多种多样，例：在上可有以下方法：(1)(2)(3)(4)取,有的收敛、有的发散、有的快、有的慢。将原方程化为等价方程§5.2迭代法—算例分析例如:用迭代法

11、求解方程解1:取初值显然迭代法发散仍取初值x2=0.9644x3=0.9940x4=0.9990x5=0.9998x6=1.0000x7=1.0000依此类推,得已经收敛,故原方程的解为同样的方程不同的迭代格式有不同的结果什么形式的迭代法能够收敛呢?(2)如果将原方程化为等价方程xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=(x)y=(x)y=(x)y=(x)x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1设满足以下两个条件：(1)对任意的，有(2)存在，使对任意都有则在上存在唯一的不动点。§5.2方程求根—迭代法的收敛性定

12、理(存在性)证明：先证不