数学建模论文--中国人口增长趋势预测

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1、中国人口增长趋势预测摘要：在对题意的理解上，我们认为中国人口增长的趋势预测，不仅包括未来人口数量的增长预测，也应包括年龄结构的改变，老龄化趋势和未来的稳定性预测。首先我们用经典的Logistic模型描述了人口的增长规律，得出中国人口的增长上限约为14.1亿，并对未来5年的人口进行了预测。通过检验，模型在短期内是有效的。考虑到年龄结构可反映育龄妇女的人口数量，从而直接影响到出生率这一现实，我们构造了基于年龄结构的矩阵预测模型。通过出生矩阵和尚存矩阵相加来得到增长矩阵。在构造矩阵的过程中，考虑到育龄妇女生育率不断改变这一事实，对育龄妇女生育率进行归一化后得到标准化的生育

2、模式，并根据需要定义了年龄别生育水平。增长矩阵经过有限次迭代后，得出中国人口高峰在2026年左右达到，峰值约为14.4亿。峰值过后，中国人口在2065年左右会趋于稳定值13.5亿。用2001年的人口预测2002~2005年人数，并与实际值做误差分析，结果显示该模型的预测结果相当精确，进行长期预测是可行的。最后，在人口稳定性存在的前提下，稳定状态的自然增长率由生存函数和生育函数决定。可以只就女性的生存函数和生育函数进行分析。分析时，生存函数为离散型，通过不同时期的生存率迭代产生，然后经城镇乡加权后最终得到。生育函数通过年龄别生育率归一化后乘以生育水平得到。这样，稳定状

3、态的自然增长率便确定下来。一旦自然增长率确定，其他指标例如出生率和死亡率可以经公式推导得到。计算后，可知以2005年的生命表求得稳定时的自然增长率为0.688‰，并进一步确定了人口稳定时的出生率，死亡率和和年龄构成。关键词：Logistic模型；矩阵预测；生育模式；归一化；稳定性预测11一.问题提出背景资料：1987年7月1日，世界上第50亿人在南斯拉夫诞生。1999年10月12日，联合国确认人口已达60亿。短短的十几年地球上的人口净增10亿！“人口问题”已经成为当今世界使用频率最高的一个词语。2005年1月6日，第13亿人在北京出生，中国人口发展到了一个新阶段。伴

4、随人口增长而来的老龄化问题和失业率的升高，日益成为阻碍我国经济社会发展的突出因素。人口变化速率＝（出生＋移入）－（死亡＋迁出），对于一个像中国这样一个处于社会稳定状态的国家来讲，移入和迁出的比例与总人口相比并不明显，所以人口专家常用每年的人口出生率和死亡率来描述国家的人口变化。中国是一个人口大国，人口的增长直接影响到我国的经济发展。对于新形势下出现的人口增长特点，如何建立有效的模型来预测中国人口的发展趋势。二．问题分析从题目分析中可知，现阶段影响人口增长的因素增加，人口增长呈现出新的特点。这些新特点包括年龄的老龄化问题，出生人口性别比例升高等等。但是，从种群的发展规

5、律来看，新的特点产生并未超出其范畴。经典的人口预测模型对于新现象同样适用。以种群增长的Logistic模型为例，老龄化只是其中阻滞因子一个构成要素。基于上述事实，用经典的Logistic模型来短期预测是有效的。对于长期的预测，Logistic模型便有很大的局限性。考虑到年龄结构对出生率有很大影响，采用矩阵分析的方法，根据当前的生命表，构造年龄别人数矩阵，尚存率矩阵和出生矩阵，表征当前的年龄别人口构成，年龄别生育率和年龄别死亡率。由于城乡的平均生育水平差距很大，必须分别加以考虑。对于更长期的预测，便涉及到人口的稳定性问题。与其他种群的增长相同，在没有大的变动的情况下，

6、人口的增长必然趋于稳定。稳定时的自然增长率如何确定？年龄构成又将怎样？这些可以通过稳定性预测来解决。三．模型的基本假设（1）年龄别死亡率在不同个批人之间没有改变（2）生育模式相对不变（3）城、镇、乡之间的人口流动暂不考虑（4）男女出生比率稳定（5）90岁以上的人口死亡率按1计算四．符号约定11k:时间点（以年为单位）r:无阻滞状态下的增长率;:阻滞因子;s(i):年龄为i的人的平均存活率;X(i):年龄为i的人的总人数;:年龄别出生水平;f(i):年龄别生育率;h(i):生育模式p(k):在k时间点上的人口总数;c:自然增长率M(i):年龄别死亡率五.模型的建立及求

7、解：（一）短期人口增长预测的Logistic模型模型建立：假如人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与人口呈正比。记k时刻的人口为p(k),对于基数很大的p(k),可以将其视为取实数值的连续可微函数。记初始时刻的人口为,人口增长率为r。根据基本假设，k到k+dk时间的人口增长量为.于是p(t)满足下面的微分方程：解得：上式即为人口增长的马尔萨斯模型。同其他种群一样，人类的增长同样受到外界和自身的限制，所以，这一模型必须修正.，荷兰生物学家Verhulst考虑了但种群成员的冲突现象，得出容易理解的单种群Logistic数学模型[1]：其解为模型求解：我