【9A文】历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

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1、【MeiWei_81重点借鉴文档】高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）20RR年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.解:令，则，，（R）令，则，，，2．设是连续函数，且满足,则____________.解:令，则，,解得。因此。3．曲面平行平面的切平面方程是__________.解:因平面的法向量为，而曲面在【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】处的法向

2、量为，故与平行，因此，由，知，即，又，于是曲面在处的切平面方程是，即曲面平行平面的切平面方程是。4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则________________.解:方程的两边对求导，得因，故，即，因此二、（5分）求极限，其中是给定的正整数.解:因故因此三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性.【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】解:由和函数连续知，因，故，因此，当时，，故当时，，这表明在处连续.四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证：（1）；（2）.证:因被积函数的偏导数连续在上连续，故由格林公式知（1）而关于和是

3、对称的，即知因此（2）因【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】故由知即五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解设，，是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，则和都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此的特征多项式是，而的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为，由和，知，二阶常系数线性非齐次微分方程为六、（10分）设抛物线过原点.当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】解因抛物线过原点，

4、故，于是即而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积即令，得即因此,,.七、（15分）已知满足,且,求函数项级数之和.解，即由一阶线性非齐次微分方程公式知即【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】因此由知，，于是下面求级数的和：令则即由一阶线性非齐次微分方程公式知令，得，因此级数的和八、（10分）求时,与等价的无穷大量.解令，则因当，时，，故在上严格单调减。因此即，又，【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】，所以，当时,与等价的无穷大量是。20RR年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，

5、适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）一、（25分，每小题5分）（1）设其中求（2）求。（3）设，求。（4）设函数有二阶连续导数，，求。（5）求直线与直线的距离。解：（1）====(2)令R=1/t,则原式=（3）二、（15分）设函数在上具有二阶导数，并且且存在一点，使得。证明：方程在恰有两个实根。解：二阶导数为正，则一阶导数单增，f(R)先减后增，因为f(R)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。将f(R)二阶泰勒展开：【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】因为二阶倒数大于0，所以，证明完成。三、（15分）设函数由参数方程所确定，其中

6、具有二阶导数，曲线与在出相切，求函数。解：（这儿少了一个条件）由与在出相切得，=。。。上式可以得到一个微分方程，求解即可。四、（15分）设证明：（1）当时，级数收敛；（2）当且时，级数发散。解：（1）>0,单调递增当收敛时，，而收敛，所以收敛；当发散时，所以，而，收敛于k。所以，收敛。（2）【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】所以发散，所以存在，使得于是，依此类推，可得存在使得成立，所以当时，，所以发散五、（15分）设是过原点、方向为，（其中的直线，均匀椭球，其中（密度为1）绕旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。解：（1）椭

7、球上一点P(R,R,z)到直线的距离由轮换对称性，（2）当时，当时，六、(15分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数。（1）设为正向闭曲线证明（2）求函数；【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】（3）设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求。解：（1）L不绕原点，在L上取两点A，B，将L分为两段，，再从A，B作一曲线，使之包围原点。则有（2）令由（1）知