09-13全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)-无答案

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1、20094第一届全国丈曇或裟曇竞赛预赛试象一、填空题(每小题5分，共20分)1.其中区域D由直线x+y=1与两(x+y)ln(l+2).^—dxdy=坐标轴所围成三角形区域.2.设/(兀)是连续函数，且满足/(x)=3x2-f2/U)dx-2,则/(%)=J023.曲ffiz=y+/-2平行平面2x+2y-z=0的切平面方程是.4.设函数y=y(x)由方程xe/(y)=eyIn29确定，其中/具有二阶导数，且广工1,则_■二、(5分)求极限！呢I

2、nxwHe)其中斤是给定的正整数.三、（15分）设函数.f（x）连续，g（%）=f7（xr）dr,且limA为常

3、数，求g'（x）J0XTOX并讨论gx）在x=0处的连续性.四、(15分)已知平面区域D={(x,y)

4、O

5、xesin〉'dy->^-sinydx>

6、^2.五、（10分）已知y,=xev+

7、,c,使此图形绕兀轴旋转一周而成的旋3转体的体积最小.七、（15分）已知给（兀）满足応（兀）二叫（兀）+兀"一0（〃二1,2,…），且wn（l）=—,求函数项n8级数工知（劝之和.n=l八、（10分）求XT1—时，与£/等价的无穷大量.n=02010弄第二届全国衣醪笛赦醪竞赛预赛试象一、(25分，每小题5分)(1)设兀=(1+d)(l+夕)…(1+a~),其中

8、6/

9、<1,求limx”./

10、丫2(2)求limcA1—ofIX)(3)设s〉0,求/=「厂N必（“=12…）。Jo（4）设函数/（/）有二阶连续导数,厂=7^孑,心）=/円，求骼+器X—V=0v_

11、9V—17—3⑸求直判：J与直线"丁的距离。二（15分）设函数/（劝在（-汽+oo）上具有二阶导数，并且厂(X)>0,limfx)=a>0,limfx)=0v0,且存在一点xQ,使得/(x0)<0。XT+ooXT-8三、（15分）设函数y=f（x）由参数方程jA=2r+f（Z>-1）所确定，其中0（/）具有二阶[y=y/（t）导数，曲线y=g与ye~u2du+—在f=l出相切，求函数肖⑴。Ji2e四、（15分）设心“>0,S“二工％证明：“1+°°a（1）当Q>1时，级数工弋收敛；+°°a（2）当QW1且S”Too（nToo）时，级数丫弋发散。«=

12、s”

13、五、（15分）设/是过原点、方向为（z0,力，（其中^求其转动惯量；求其转动惯量关于方向（久0,厂的最大值和最小值。+/?2+r=1）的直线，均匀椭球六、（15分）设函数/（x）具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分犷吧+0严的值为常数。<1,其中（Ovcvbva,密度为1）绕/旋转。c兀y（1）设厶为正向闭曲线（X—2）2+尸=1,证明”2巻;貫）dy=0；（2）求函数（p（x）；（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求巾洋严2011弄第三届全国女曇或叙曇竞赛预赛试象一.计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）1/•

14、、“sinxi-cosx⑴•求lim；心叭X丿(2).求lim〃―>8n+n)x=(+e2t}(1)己知$7y=t-arctanel二.（本题io分）求方程（2x+y-4）Nr+（x+y—1）右=0的通解。三.（本题15分）设函数f（x）在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且/（0），f（0），/”（0）均不为o,证明：存在唯一一组实数kvk2,k3,使得恤对(力)+心/(2/2)+"(3力)-/(0)=°力TOh2xyzA.c四.（本题17分）设Z,：—+^--+—=1,其中a>b>c>0,1a2b2c2X2:z2=x2+y2r「为X]与》2的交线，

15、求椭球面工]在「上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。x2+3y2=l五.（本题16分）已知S是空间曲线<绕y轴旋转形成的椭球面的上半部[z=0分（z>0）取上侧，口是s在P（x,y.z）点处的切平面，p（xjz）是原点到切平面口的距离，入“”表示s的正法向的方向余弦。计算：（1）[[———dS；（2）ffz（加+3〃y+“z）dS二.（本题12分）设f（x）是在（一oo,+oo）内的可微函数，且/'（%）

16、0,2］上的连续可微函数f(x),满足/(0)=/(