【7A版】2015年考研数学一真题及答案解析

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1、7A版优质实用文档2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。(1)设函数在内连续,其中二阶导数的图形如图所示,则曲线的拐点的个数为()(A)(B)(C)(D)【答案】(C)【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此,由的图形可得,曲线存在两个拐点.故选(C).(2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解,则()(A)(B)(C)(D)【答案】(A)【分析】此题考查二阶

2、常系数非齐次线性微分方程的反问题——已137A版优质实用文档7A版优质实用文档知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知,、为二阶常系数齐次微分方程的解,所以2,1为特征方程的根,从而,,从而原方程变为,再将特解代入得.故选(A)(3)若级数条件收敛,则与依次为幂级数的()(A)收敛点,收敛点(B)收敛点,发散点(C)发散点,收敛点(D)发散点,发散点【答案】(B)【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性

3、质。【解析】因为条件收敛,即为幂级数的条件收敛点,所以的收敛半径为1,收敛区间为。而幂级数逐项求导不改变收敛区间,故的收敛区间还是。因而与依次为幂级数的收敛点,发散点.故选(B)。137A版优质实用文档7A版优质实用文档(4)设是第一象限由曲线,与直线,围成的平面区域,函数在上连续,则()(A)(B)(C)(D)【答案】(B)【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D的图形,所以,故选(B)(5)设矩阵,,若集合,则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为()(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】,137A版优质实用文档7A版优质实用文档由,故

4、或,同时或。故选(D)(6)设二次型在正交变换为下的标准形为,其中,若,则在正交变换下的标准形为()(A)(B)(C)(D)【答案】(A)【解析】由,故.且.所以。选(A)(7)若A,B为任意两个随机事件,则()(A)(B)(C)(D)【答案】(C)【解析】由于,按概率的基本性质,我们有且,从而,选(C).137A版优质实用文档7A版优质实用文档(8)设随机变量不相关,且,则()(A)(B)(C)(D)【答案】(D)【解析】,选(D).二、填空题:914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)【答案】【分析】此题考查型未定式极限,可直接用洛必达

5、法则,也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一:(罗比达法则)方法二:(等价无穷小替换)(10)【答案】137A版优质实用文档7A版优质实用文档【分析】此题考查定积分的计算,需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】(11)若函数由方程ez+xyz+x+cosx=2确定,则【答案】【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令,则又当时,即.所以,因而(12)设是由平面与三个坐标平面所围成的空间区域,则【答案】【分析】此题考查三重积分的计算,可直接计算,也可以利用轮换对称性化简后再计算.【解析】由轮换对称性,得,其中为平面截空间区域所得的截面,其面积为.所以137A版优质实

6、用文档7A版优质实用文档(13)阶行列式【答案】【解析】按第一行展开得(14)设二维随机变量服从正态分布,则【答案】【解析】由题设知,,而且相互独立,从而.三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设函数,,若与在是等价无穷小,求的值.【答案】【解析】法一:原式(泰勒展开法)137A版优质实用文档7A版优质实用文档即(16)(本题满分10分)设函数在定义域I上的导数大于零,若对任意的,由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4,且,求的表达式.【答案】.【解析】设在点处的

7、切线方程为:令,得到,故由题意,,即,可以转化为一阶微分方程,即,dxdy=8y2,两边同时积分可得G=-8y+c,将f0=2,代入上式可得c=4即.(17)(本题满分10分)已知函数,曲线C:,求在曲线C上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为沿着梯度的方向的方向导数最大,且最大值为梯度的模.137A版优质实用文档7A版优质实用文档,故,模为,此题目转化为对函数在约束条件下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单,可以转化为对在约束条件下的最大值.构造函数:,得到.所以最大值为.(18)(本题满分10分)(I)设函数可导,利用导数定义证明(II)设

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