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1、7A版优质实用文档1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1).(2)设幂级数的收敛半径为3,则幂级数的收敛区间为.(3)对数螺线在点处的切线的直角坐标方程为.(4)设,为三阶非零矩阵,且,则=.(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的
2、括号内)(1)二元函数在点处()(A)连续,偏导数存在(B)连续,偏导数不存在(C)不连续,偏导数存在(D)不连续,偏导数不存在(2)设在区间上令,,则()(A)(B)(C)(D)(3)则()(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数(4)设则三条直线,,(其中)交于一点的充要条件是()(A)线性相关(B)线性无关(C)秩秩167A版优质实用文档7A版优质实用文档(D)线性相关,线性无关(5)设两个相互独立的随机变量和的方差分别为4和2,则随机变量的方差是()(A)8(B)16(C)28(D)44三、(本题共3
3、小题,每小题5分,满分15分.)(1)计算其中为平面曲线绕轴旋转一周形成的曲面与平面所围成的区域.(2)计算曲线积分,其中是曲线从轴正向往轴负向看,的方向是顺时针的.(3)在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为,在时刻已掌握新技术的人数为,在任意时刻已掌握新技术的人数为(将视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数求.四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分.)(1)设直线在平面上,且平面与曲面相切于点,求之值.(2)设
4、函数具有二阶连续导数,而满足方程,求.五、(本题满分6分)设连续,且(为常数),求并讨论在处的连续性.六、(本题满分8分)设证明：167A版优质实用文档7A版优质实用文档(1)存在；(2)级数收敛.七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分.)(1)设是秩为2的矩阵,是齐次线性方程组的解向量,求的解空间的一个标准正交基.(2)已知是矩阵的一个特征向量.(Ⅰ)试确定参数及特征向量所对应的特征值；(Ⅱ)问能否相似于对角阵？说明理由.八、(本题满分5分)设是阶可逆方阵,将的第行和第行对换后得到的矩阵记为.
5、(1)证明可逆；(2)求.九、(本题满分7分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是.设为途中遇到红灯的次数,求随机变量的分布律、分布函数和数学期望.十、(本题满分5分)设总体的概率密度为其中是未知参数.是来自总体的一个容量为的简单随机样本,分别用矩估计法和最大似然估计法求的估计量.1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析167A版优质实用文档7A版优质实用文档一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1)【答案】【分析】这是
6、型极限.注意两个特殊极限.【解析】将原式的分子、分母同除以,得评注：使用洛必达法则的条件中有一项是应存在或为,而本题中,极限不存在,也不为,不满足使用洛必达法则的条件,故本题不能用洛必达法则.【相关知识点】1.有界量乘以无穷小量为无穷小量.(2)【答案】【解析】考察这两个幂级数的关系.令,则.由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径,的收敛半径为3的收敛半径为3.从而的收敛半径为3,收敛区间即(-3,3),回到原幂级数,它的收敛区间为,即.评注：幂级数的收敛区间指的是开区间,不考虑端点.对于,若它的收敛半径是.但是
7、若只知它的收敛半径为,则,因为可以不存在(对于缺项幂级数就是这种情形).(3)【答案】【解析】求切线方程的主要问题是求其斜率,而可由的参数方程167A版优质实用文档7A版优质实用文档求得：,所以切线的方程为,即.评注：本题难点在于考生不熟悉极坐标方程与直角坐标方程之间的关系.(4)【答案】【解析】由,对按列分块,设,则,即是齐次方程组的解.又因,故有非零解,那么,由此可得.评注：若熟悉公式,则,可知,亦可求出.(5)【答案】【解析】方法1：利用全概率公式.求第二人取得黄球的概率,一般理解为这事件与第一人取得的是什么球有关.
8、这就要用全概率公式.全概率公式首先需要一个完全事件组,这就涉及到设事件的问题.设事件“第个人取得黄球”,,则完全事件组为(分别表示第一个人取得黄球和第一个人取得白球).根据题设条件可知；；(第一个人取得黄球的条件下,黄球个数变成,球的总数变成,第二个人取得黄球的概率就为)；(第一个人取得白球的条件下,黄
