数学建模论文--车灯线光源的优化设计模型

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1、车灯线光源的优化设计模型[摘要]:本文应用光学知识与空间解析几何知识，对提出的车灯线光源的优化设计问题进行了分析，把空间立体问题转变成平面问题，找到了照到B点和C点抛物面光区区域，对抛物面上按照照到B点和C点的可能性划分成了4个区域,并给出了B、C点的光照度函数，建立了线光源功率问题的非线性规划模型和离散分析模型。应用数学软件Maple编程进行近似求解得出了线光源长度，分别为3.316mm和3.5mm.并对此线光源长度在有标度的测试屏上画出了近似于椭圆的亮区区域。关键词:光功率;线光源;光照度1问题的提

2、出汽车的车灯为一旋转抛物面，现以抛物面的焦点F为中心对称地放置一与抛物面的对称轴垂直的水平线光源，线光源发出的光线通过抛物面反射到距焦点正前方25m远的一个屏幕上.通过屏幕与抛物面对称轴的交点A点作一与水平面平行的直线,并在A的同侧取点B.C,要求AC=2AB,且C点的光强度不小于某一额定值,B点的光强度不小于该额定值的两倍.在满足设计规范的情况下请设计线光源长度,使线光源的功率最小,得到线光源长度后,在有坐标尺的坐标系中画出屏幕上的亮区.并讨论该设计规范的合理性.2模型的假设抛物面为白体,即光射向抛物

3、面时,它不会吸收光,全部反射到屏幕上.2光在空气中的传播没有损失.3射到屏幕上的光只考虑经过抛物面一次反射而得.3符号的约定dt-----线光源上的点微元;d-----抛物面的线微元;ds-----屏幕上的面微元;h------线光源长度的一半;b-----AC的长度,b=2a,b=2.6m;a-----AB的长度;a=1.3m;R-----抛物面开口半径,R=36mm;d-----抛物面深度,d=21.6mm;-----单位长度线光源在单位平面角内发出的光流常数;-----线光源在B点的光照度(相当题

4、目中的光强度概念);-----线光源在C点的光照度;P-----线光源的光功率;K-----线光源的光学特性;4问题的分析本题是一个非线性规划问题,现要确定线光源长度,使其功率最小.由于单位长度线光源在单位平面角内发出的光流常数(由立体角的类似意义)与功率正比,所以此问题的目标函数由光流数决定,而这又与线光源的长度成正比,所以最终要解决的问题就是对线光源长度的优化.5模型的建立与求解12以旋转抛物面(如图1)的顶点为原点,建立三维直角坐标系o-xyz,设旋转抛物面的方程为y+z=2px(p>0)----

5、------------------------------------------------------------(1)焦点的坐标为F(,0,0).把y=36,x=21.6,z=0代入上式解得:p=30,则F的坐标为(15,0,0).即旋转抛物面的方程为y+z=60x,把旋转抛物面的方程式写成参数方程,则有:--------------------------------------------(2)其中为参数.下面我们得出下面的一个重要结论：5.1命题线光源上任一点发出的光流经过与水平面成夹角的

6、旋转抛物面的切面(即一个抛物线)后不会反射到B,C点.证明如图2,设m(15,t,0)是线光源上任意一点,q(60是旋转抛物面的任意一点:图1图2两点的直线的方向矢量为==通过点的法矢量为12则，使，且

7、

8、=

9、

10、即于是则反射光线的方向矢量为:,即:-15则的参数方程为:该方程经过B点,即:--------------------(3)解得:.当时有z=60,也就是说线光源的光线经旋转抛物面反射到B12点时,任何情况下都有z=0,即n点只在抛物面(y)的一个抛物线(y=60x)上,同理可证得线光源的光线只

11、有经y=60x的抛物线反射后才会经过C点,至此,命题得证.这样要求线光源发出的光线经旋转抛物面某一点反射到B,C点的问题就转化为求线光源发出的光线经水平抛物线的某一点反射后照到B,C点的问题.那么空间中立体的问题就转化为平面图上的问题.5.2非线性规划数学模型下面建立线光源一点m经抛物面上点q反射到达B点时，t、y的关系:在抛物线y=60x(如图3)上一点q在线光源上取点m(15,t)易得:t0设mq两点的距离为,则有=矢量=图3则的单位向量==

12、qF

13、,

14、mF

15、.由余弦定理,得t即cos………(4)由

16、反射定律知∠DqB=,12且……………………………………………………………..(5)由(4)(5)两式连解得:cos=即于是，可化简为………………..(6)由(6)解得t关于y的函数:t==6000(-36)………...(7)同理对C得到t关于y的函数:t=(-36)……(8)对(7)进行函数分析,我们可由范围内,分别作出由点m发出的光线经抛物线上一点q反射到达B点的光路图（如图4），而这个划分依据是由y的值来划分，即以下四个区域：A区域：