高中数学必修2-1.3.2《球的体积和表面积》同步练习

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1、1.3.2《球的体积和表面积》同步练习一、选择题1．半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是(　　)A．2R3B．πR3C．R3D．R3[答案]　C2．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是(　　)A．B．C．D．[答案]　A[解析]　由6a2＝4πR2得＝，∴＝＝3＝.3．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是(　　)A．65B．54C．43D．32[答案]　D[解析]　设球的半径为R，则圆柱的高h＝2R，底面的半径也为R，∴＝＝.4．已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上

2、，则这个球的表面积是(　　)A．20B．25C．50πD．200π[答案]　C[解析]　长方体的体对角线即为球的直径，∴2R＝，∴R＝，S球＝4πR2＝50π.5．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(　　)5A．9πB．10πC．11πD．12π[答案]　D[解析]　本题是三视图还原为几何体的正投影问题，考查识图能力，空间想像能力．由题设可知，该几何体是圆柱的上面有一个球，圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，∴该几何体的表面积为2π×1×3＋2π×12＋4π×12＝12π.6．64个直径都为的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲

3、；一个直径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则(　　)A．V甲>V乙且S甲>S乙B．V甲S乙D．V甲＝V乙且S甲＝S乙[答案]　C[解析]　计算得V甲＝πa3，S甲＝4πa2，V乙＝πa3，S乙＝πa2，∴V甲＝V乙，且S甲>S乙．二、填空题7．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．[答案]　3π[分析]　由三视图可知该几何体为半个球，利用球的表面积公式求解即可．[解析]　由三视图，易知原几何体是个半球，其半径为1，S＝π×12＋×4×π×12＝3π.8．已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的

4、半径为________．5[答案]　[解析]　设球O的半径为r，则πr3＝23，解得r＝9．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为________．[答案]　312[解析]　V柱＝πR2×2R＝2πR3，V锥＝πR2×2R＝R3，V球＝πR3.V柱V锥V球＝312.三、解答题10．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S1、S2、S3，试比较它们的大小．[解析]　设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则S1＝6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2.由题意知，πR3＝a3＝πr2·2r

5、，∴R＝a，r＝a，∴S2＝4π2＝4π·a2＝a2，S3＝6π2＝6π·a2＝a2，∴S23a2＝a2，即S1>S3.∴S1、S2、S3的大小关系是S2

6、圆柱筒的体积为V圆柱＝πR2·h＝π×9×2＝18π(cm3)．所以这种“浮球”的体积是：V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6(cm3)．(2)根据题意，上下两个半球的表面积是S球表＝4πR2＝4×π×9＝36π(cm2)，又“浮球”的圆柱筒的侧面积为：S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12π(cm2)，所以1个“浮球”的表面积为S＝＝π(m2)．因此，2500个这样的“浮球”表面积的和为2500S＝2500×π＝12π(m2)．因为每平方米需要涂胶100克，所以共需要胶的质量为：100×12π＝1200π(克)．12．如图，已知某几何体的三视图如下(

7、单位：m)．5(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)．(2)求这个几何体的表面积及体积．[解析]　(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝(22＋4)cm2，所求几何体的体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．5