粘弹性三维本构关系与解析方法

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1、2.2三维本构关系与解析方法晏泽yanze@snnu.edu.cn主要内容1.积分变换（拉普拉斯变换及其逆变换）回顾2.粘弹性三维本构关系3.准静态问题解析求解(弹性-粘弹性相应原理)4.粘弹塑性三维本构关系•变换常见的变换：对数变换、坐标变换、线性变换；积分中的变量代换；微分方程中的变换；复变函数的保角变换；积分变换；直接求解较难，常常将原问题变换为易解决问题积分变换•积分变换：通过积分运算，把一个函数变成另一个函数。•积分区间；积分变换的核；•原函数；称为的象函数；选取不同的积分域和变换核时，就得到不同的积分变换。傅里

2、叶（Fourier）变换itFfte()()dtst拉普拉斯(Laplace)变换Fs()ftedt()0Z变换、梅林（Mellin）变换、汉科尔（Hankel）变换，小波变换;在积分变换下：微分运算变为乘法运算；偏微分方程减少自变量的数目；常微分方程变为相空间中的代数方程；从而易于在相空间中求解问题，在经过逆变换得到原方程的显式解。相空间、像空间、象空间；物质形态(一切有为法、如梦幻泡影,如露亦如电,应作如是观。凡所有相,皆是虚妄。--《金刚经》；相，视也。--《尔雅》)拉普拉斯变换•[Laplace

3、变换存在定理]若函数ft()满足下列条件：•（1）当t0时，ft()0；•（2）ft()在t0的任一有限区间上分段连续，•间断点的个数是有限个，且都是第一类间断点。（3）ft()是指数级函数。•工程技术中所遇到的函数大部分是存在Laplace变2•换的，但像et，这类函数是不存在Laplace变换的。拉普拉斯变换Fs()Lft[()]ˆftedt()st0•s是复数,;Re0s课堂练习求单位阶跃函数H(t)的拉普拉斯变换1,0tHt()0,0t解：11LHtˆ[()]Htedt()s

4、tedtstest

5、000ss课堂练习ft()的拉普拉斯为Fs()，求'的拉普拉斯变换ft()解：Lftˆ[()]()sFs(0)fn1Lfˆ[()n1()]tsFsn()2(1)1sn()f(0)snnf(0)nf(0)nsFsii()(0)sfi0Laplace变换的基本性质•1、线性性质Lf1(t)f2(t)F1(s)F2(s)•2、相似性质1sLfat()F()•aas•3、延迟性质Lft()e()Fsat•4、位移性质L

6、eftFsa()()ndf(t)n•5、微分性质LnsF(s)dt•6、积分性质11Lftt()dftFs(0)d()ss•7、卷积定理Lf(t)f()dF(s)F(s)12120拉普拉斯逆变换1ift()LFs[()]ˆ1Fseds()(0)tst2ii是复变函数的积分，较为复杂。三种方法：•(1)部分分式法（查表法）满足工程应用•(2)利用留数定理——围线积分法•(3)数值计算方法计算机（了解）部分分式法F(s)为多项式：mm1A

7、s()asasasamm110Fs()nn1Bs()bsbsbsbnn110将上式展开成对照表里，部分分式F(s)之和的形式。kkk12nFs()spspsp12n查表得到逆变换ft()课堂练习求方程tytyy(12)20，满足初始条件：yy(0)1,(0)2的解。解：方程两边进行拉普拉斯变换：dd2[sYs()syy(0)sYs(0)]ysYs()yYs(0)2[()(0)]2()0dsds代入初始条件并化简得：(2)()sYs()0Ys

8、ln()YssCln(2)•作逆变换得2tyt()Ce2tyyt(0)e1;()2.2三维本构关系与解析方法实际工程问题一般都是复杂的三维问题，一些情况下可简化为平面问题。实际应用需要将2.1节中的本构关系推广到二维、三维空间中。本节讨论粘弹性三维本构关系、粘弹性准静态边界问题的解析方法和粘弹塑性三维本构方程。2.2.1流变微分型本构关系的一维通式粘弹性流变模型一维本构关系是关于应力、应变、两者各自对时间导数和材料参数的方程。2如：Maxwell模型本构方程2E0这些本构关系总能写成下面的形式：mm

9、kkpqkkkkkk00tt其中pqkk,为多项式。按上述记法，Maxwell模型本构方程可改写成：2(1)2Ett(1)0KK将对时间的微分记为：DKt2则(1)式变为(1DD)2(2)E0mmKk如果令PD()p