第4章罚函数法

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1、§4.1罚函数法§4.2障碍函数法§4.3广义乘子法第四章约束最优化的加权方法§4.1罚函数法◆从拉格朗日乘子法谈起乘子法是研究带约束的极值问题的有效方法之一。从高等数学中拉格朗日乘子法开始，对它的研究一直不断。在拉格朗日乘子法的基础上又给出了罚函数法、障碍函数法、广义拉格朗日乘子法（也简称为广义乘子法）对带约束的极值问题的求解方法。这些方法统称为广义乘子法。▲拉格朗日乘子法的基本原理对等式约束问题min()fxst..gx()0引入拉格朗日（Lagrange）乘子，并定义增广拉格朗日函数Lx(,)fx()gx()则原问题的解可转化求解min(,)L

2、x由高等数学知，该问题有解的必要条件是：Lx(,)0即：Lx(,)fg0，Lx(,)g0x注：①由后式得“解（最小点）在边界上得到”（即满足g0）；Tgf②由前式得fg0即；如果将它代入Lx(,)中可用解决无约束问题的方Tgg法求解；③fx()与gx()的极值点相同，即fg。④事实上，求解min(,)Lx是运用无约束问题的最优化方法来求解的，一般无法求得上述联立方程组。46操华胜：最优化方法22minf2xy2xy△例题1求解st..xy1解定义22Lx(,)2xy2xy

3、(xy1)则作Lx(,)0如下，4x2y0，2y2x0，xy10232解得x，y，。555231则求得f,min55522minf2xy2xyst..xy1△关于拉格朗日乘子法的讨论22minf2xy3xyst..xy1若将上例中的2xy改为3xy，则4x3y0，2y3x0，xy10无法解出。究其原因是因为目标函数的Hess阵并不是正定的。因此对拉格朗日乘子法方法需要加以改进。（不足之处）引入下面方法的理由若函数或条件为非多项式则不可能求解第五章约束最优化的

4、加权方法47◆等式约束的罚函数法▲罚函数法的基本原理设有带约束的非线性规划问题min()fxst..gx()0i式中的函数均为的非线性连续函数。引入增广目标函数Fx(,)fx()Px()其中为很大的正数；称Fx(,)为罚函数，P为罚项，为罚因子。一般取TPgg因此原问题等价于无约束的最优化问题：min(,)Fxfx()Px()罚项Px()具有这样的性质，当x为可行解时罚项为零；当x不为可行解时罚项就是一个惩罚项（远离可行域），求极小的作用又期望将它“拉”回。关于P的取法：①与原条件函数相关；②为正函数（σP为正）；③上述性质；48操

5、华胜：最优化方法min()fxT，Fx(,)fx()ggst..gx()0i△分析（判断）：①当x为可行点（即x满足gx()0）时，则有iPx()0，（即gx()0）i此时有min(,)Fxmin()fx。②当x不为可行点（即x满足gx()0）时，则有iPx()0，且Px()很大此时，求min(,)Fx必然有min()fx与minPx()同时满足，而后者是求x使得minPx()。xx,====================================================================

6、==============20,xD若记Dxgxi()0则有gxi()。0,xD可以期望，当充分大时，无约束问题min(,)Fx的最优解x()与原问题的解x十分接近。事实上，当时，若问题有解（即F）则必有g0；另一方面，由于Ff2ggii0，结合时的结果g0，故有Ff＝0；也就是说，若边界上（g0）的点x为F的极值点，则它必为原目标函数f有极值点。由于x()往往不满足原问题的可行条件，即它并不是原问题的解，当充分大时它才趋于可行解；它表明该序列从可行域的外部慢慢收敛于可行域内部的解

7、，因此该方法又称为外点法。h(g)minh()gminC0第五章约束最优化的加权方法49△罚函数算法（等式约束的罚函数算法）①取初值初始点x，允许误差0，初罚因子0，放大系数1，且，并置k1；00kk1②计算以x为初始点，求解min(,)Fxfx()Px()，得到解x。k1kk③约束判断若gx()则计算终止，此时的解为xx；否则，置kk1转②kk22min(,)fxyxy△例题2求st..y10222解定义罚函数为：Fxy(,,)xy(y1)。求它的极值。由F