优化设计3——惩罚函数法

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1、3.5多维约束优化方法3.5.1复合形法可行方向法3.5.2拉格朗日乘子法3.5.3罚函数法9/1/202119/1/202123.5.1复合形法9/1/20213复合形法的优化过程：1）在可行域内选定K个点，构成以这K个点为顶点的不规则多面体作为初始复合形。一般n+1≤K≤2n，当维数n较小时取较大的K（如K=2n）；当n较大时，取较小的K。2）然后比较复合形各顶点的函数值，找出最坏点X(b)，和除X(b)之外的其它各点的点集中心X(c)。3）从X(b)出发通过X(c)作一射线，在此射线上找到一个既满足约束条件，函数值又有改善的新顶点

2、——反射点X(r)。再舍弃最坏点X(b)，代之以反射点X(r)，构成新复合形。如此反复进行，直至得到最优点为止。9/1/20214复合形法的特点：原理简单、方法直观、不需要计算导数。也不需要一维搜索，复合形不要求为规则图形，灵活可变。适宜处理不等式约束问题且能防止顶点退化。在求解过程中涉及的可行域较广，故结果可靠。但复合形法不适宜应用于中、高维问题，原因是维数若太高，计算量急增，收敛很慢。9/1/202152、复合形法计算步骤（1）输入各常量，如设计变量个数n，收敛精度ε1、ε2，初始反射系数α，设计变量的上下界值bj和aj,j=1,2

3、,…,n。（2）产生初始复合形，其各顶点要在可行域内，且满足约束条件。即第一个顶点产生方法不限，其余k-1个顶点可按随机法产生（设复合形有k个顶点）。xi(0)=a+qi(b-a)i=1,2,…,k。k为顶点号；qk为(0,1)区间内的伪随机数，一般可查表或由电子计算机提供，亦可自编程产生。9/1/20216（3）计算各顶点的目标函数值，找出最坏点X(H)、次坏点X(G)、最好点X(L)，即X(H):f(X(H))=max{f(X(i)),i=1,2,…,k}X(G):f(X(G))=max{f(X(i)),i=1,2,…,k,k≠H}

4、X(L):f(X(L))=min{f(X(i)),i=1,2,…,k}（4）计算除最坏点X(H)之外的k-1个顶点的中心点X(C)，即X(C)=[1/(k-1)]∑X(i)(i=1,2,…,k,k≠H)9/1/20217检验中心X(c)，若X(c)在可行域内，则继续执行步骤(5)；若X(c)不在可行域内，此时可行域为非凸集，如图所示，此时转步骤(2),直至X(c)成为可行点为止。9/1/20218（5）在最坏点X(H)和中心点X(c)的连线方向上取反射点X(R)，即X(R)=X(c)+α(X(c)–X(H))式中反射系数α的初值一般取为

5、α=1.3。求出反射点X(R)后，对该点进行可行性检查，若X(R)越出了可行域，如图所示，则将反射系数α减半，使X(R)点退回可行域，得到新的X(R)点。若新反射点X(r)仍未退回可行域，继续将α减半，如此反复，直至X(R)为可行点为止。9/1/20219（6）计算反射点的函数值f(X(R))，并与最坏点X(H)比较。若f(X(R))

6、数时，反射点的函数值仍大于最坏点函数值，则说明该反射方向不好，此时改用次坏点X(G)代替最坏点X(H)，即X(H)=X(G),换一个反射方向，转（4）。9/1/202110（7）终止判别：反复执行上述过程中，随着反射系数α的不断减半，复合形逐渐向最优点收缩，复合形越来越小，直到满足时，迭代结束。此时复合形中目标函数值最小的顶点（或用X(C0)点）即为最优解。式中XC为复合形所有顶点的点集中心，即若复合形不满足(a)式，则应转向（3），开始下一次迭代。9/1/2021119/1/2021129/1/2021139/1/2021149/1/

7、2021159/1/202116原理：从可行域内的一个可行点出发，选择一个可行的搜索方向和步长，使产生的下一个相对较优的迭代点，既不超出可行域又使目标函数值有所下降。最佳可行下降方向：最优搜索步长：可行方向法:9/1/2021173.5.2拉格朗日乘子法对于等式约束问题minf(X)=f(x1,x2,…,xn)s.t.hj(X)=0,j=1,2,…,p由数学基础知识可知，可以将其转化为求拉格朗日函数无约束的极值问题。引入拉格朗日函数L(X,λ)=f(X)+∑λjhj(X)(j=1,2,…,p)式中λj为拉格朗日乘子，则问题的极值条件为9

8、/1/202118共有n+p个方程，可解出x1*,x2*,…,xn*和λ1*，λ2*,…,λn*共n+p个未知量，则有若X*及λ*是L(X*,λ*)的极小点，则X*必为f(X)的极小点。为了便于在计算机上利