《高等数学》同济六版教学课件第1章函数与极限

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1、二、两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则第六节极限存在准则及两个重要极限第一章一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1.函数极限与数列极限的关系定理1.有定义,为确定起见,仅讨论的情形.有定理1.有定义,且设即当有有定义,且对上述,时,有于是当时故可用反证法证明.(略)有证：当“”“”定理1.有定义且有说明:此定理常用于判断函数极限不存在.法1找一个数列不存在.法2找两个趋于的不同数列及使例1.证明不存在.证:取两个趋于0的数列及有由定理1知不存在.2.函数极限存在的夹逼准则定理2.且(利用定理1及数列的夹

2、逼准则可证)圆扇形AOB的面积二、两个重要极限证:当即亦即时，显然有△AOB的面积＜＜△AOD的面积故有注注注当时例2.求解:例3.求解:令则因此原式例4.求解:原式=例5.已知圆内接正n边形面积为证明:证:说明:计算中注意利用2.证:当时,设则(P53~54)当则从而有故说明:此极限也可写为时,令例6.求解:令则说明：若利用则原式例7.求解:原式=的不同数列内容小结1.函数极限与数列极限关系的应用(1)利用数列极限判别函数极限不存在(2)数列极限存在的夹逼准则法1找一个数列且使法2找两个趋于及使不存在.函数极限存在的夹逼

3、准则2.两个重要极限或注:代表相同的表达式思考与练习填空题(1～4)作业P561(4)，(5)，(6);2(2)，(3)，(4);4(4),(5)第七节第一章都是无穷小,第七节引例.但可见无穷小趋于0的速度是多样的.无穷小的比较定义.若则称是比高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;则称是关于的k阶无穷小;则称是的等价无穷小,记作例如,当～时～～又如，故时是关于x的二阶无穷小,～且例1.证明:当时,～证:～例2.证明:证:目录上页下页返回结

4、束因此即有等价关系:说明:上述证明过程也给出了等价关系:～～定理1.证:即即例如,～～故定理2.设且存在,则证:例如,设对同一变化过程,,为无穷小,说明:无穷小的性质,(1)和差取大规则:由等价可得简化某些极限运算的下述规则.若=o(),(2)和差代替规则:例如,例如,(见下页例3)(3)因式代替规则:界,则例如,例3.求解:原式例4.求解:例5.证明:当时,证:利用和差代替与取大规则说明内容小结1.无穷小的比较设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且是的高阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是

5、的等价无穷小是的k阶无穷小2.等价无穷小替换定理思考与练习Th2P59题1,2作业P593;4(2),(3),(4);5(3)常用等价无穷小:第八节二、函数的间断点一、函数连续性的定义第八节函数的连续性与间断点第一章可见,函数在点一、函数连续性的定义定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;continue若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数.例如,在上连续.(有理整函数)又如,有理分式函数在其定义域内连续.在闭

6、区间上的连续函数的集合记作只要都有对自变量的增量有函数的增量左连续右连续当时,有函数在点连续有下列等价命题:例.证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.在在二、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一,函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡

7、间断点.为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式思考与练习1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时提示:3.P65题3,*8为连续函数.答案:x=1是第一类可去间断点,P65题*8提示:作业P654;5第九节备用题确定函数间断点的类型.解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.一、连续函数的运算

8、法则第九节二、初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性第一章定理2.连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.在其定义域内连续一、连续函数的运算法则定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,例如,在上连